Modèles de régression linéaire pour variables explicatives fonctionnelles

Linear regression models for functional covariates

• Auteur / Autrice : Christophe Crambes
• Direction : Pascal Sarda, Hervé Cardot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Statistiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pollution atmosphérique

Ozone atmosphérique

Estimation de paramètres

Analyse de régression

Variables (mathématiques)

Analyse multivariée

Mathématiques

Mots clés libres

Statistique fonctionnelle

Modèle linéaire

Moyenne conditionnelle

Quantiles conditionnels

Fonctions splines

Variable explicative bruitée

Pics de pollution

Ozone

Functional data analysis

Linear model

Conditional mean

Conditional quantiles

Spline functions

Noisy covariate

Pollution peaks

Ozone

Résumé

L'analyse des données fonctionnelles constitue une branche de la statistique dont le développement s'est fortement intensifié ces dernières années. Dans cette thèse, on s'intéresse à des problèmes de régression fonctionnelle pour lesquels il s'agit d'expliquer les variations d'une variable d'intérêt réelle à partir d'une variable explicative fonctionnelle, c'est-à-dire à valeur dans un espace de dimension éventuellement infinie. On considère plus précisément des modèles de régression linéaire. Deux types d'estimation sont proposés: l'estimation de quantiles conditionnels et l'estimation de la moyenne conditionnelle (cette dernière étant considérée dans le cas où la variable explicative est non bruitée, puis lorsque celle-ci est soumise à des erreurs de mesure). Dans chaque cas, des estimateurs basés sur les fonctions splines sont proposés, solutions de problèmes de minimisation pénalisés, la pénalisation intervenant pour contourner le problème lié au fait que la variable explicative est à valeurs dans un espace de dimension infinie. Finalement, on s'intéresse aux aspects pratique de cette étude, au moyen de simulations, puis sur un jeu de données réelles concernant la prévision de pics de pollution à l'ozone à Toulouse.

Functional data analysis is a branch of statistics which has highly developed these last years. In this thesis, we are interested in functional regression problems in which we want to explain the variations of a real interest variable from the variations of a functional covariate, that is to say a variable taking its values in an infinite dimensional space. We consider more particularly linear regression models. Two kinds of estimation are proposed: the estimation of conditional quantiles and the estimation of the conditional mean (for which we consider the case where the covariate is non-noisy, and then when there are measurement errors). In each case, estimators based on spline functions are proposed, solutions of penalized minimization problems, the penalization being introduced to circumvent the problem of the infinite dimension. Finally, we are interested in the practical aspects of this study, by the maen of simulations, then on a real data set concerning the prediction of ozone pollution peaks in the city of Toulouse.