Estimation non paramétrique et problèmes inverses

Non parametric estimation and inverse problems

• Auteur / Autrice : Thomas Willer
• Direction : Dominique Picard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Estimation de paramètres

Convolutions (mathématiques)

Besov, Espaces de

Ondelettes

Résumé

On se place dans le cadre de l'estimation non paramétrique pour les problèmes inverses, où une fonction inconnue subit une transformation par un opérateur linéaire mal posé, et où l'on en observe une version bruitée par une erreur aléatoire additive. Dans ce type de problèmes, les méthodes d'ondelettes sont très utiles, et ont été largement étudiées. Les méthodes développées dans cette thèse s'en inspirent, mais consistent à s'écarter des bases d'ondelettes "classiques", ce qui permet d'ouvrir de nouvelles perspectives théoriques et pratiques. Dans l'essentiel de la thèse, on utilise un modèle de type bruit blanc. On construit des estimateurs utilisant des bases qui d'une part sont adaptées à l'opérateur, et d'autre part possèdent des propriétés analogues à celles des ondelettes. On en étudie les propriétés minimax dans un cadre large, et l'on implémente ces méthodes afin d'en étudier leurs performances pratiques. Dans une dernière partie, on utilise un modèle de régression en design aléatoire, et on étudie les performances numériques d'un estimateur reposant sur la déformation des bases d'ondelettes.

Nonparametric estimation problems for inverse models consist in recovering an unknown function from the observation of a linear ill posed transformation of the function, blurred by an additive random error. In this context, wavelet methods are very useful and have been widely studied. The estimators developed in this thesis are significantly influenced by them, but also stray from decompositions in "classical" wavelet bases, which allows new theoretical and practical developments. In a main part of the thesis, one focuses on a white noise type model. One develops estimators using bases which, on the one hand are adapted to the operator of the problem, and on the other hand possess wavelet type properties. One investigates the theoretical properties of such methods in a wide minimax framework, as well as their numerical performances, by a simulation study. In the last part of the thesis, one focuses on the model of regression in random design, and one investigates the numerical performances of an estimator based on the "warping" of wavelet bases.