Algorithmes numériques pour l'analyse topologique : analyse par intervalles et théorie des graphes

par Nicolas Delanoue

Thèse de doctorat en Automatique et informatique appliquée

Sous la direction de Luc Jaulin.

Soutenue en 2006

à Angers .


  • Résumé

    Le travail présenté dans cette thèse concerne d'une part, l'étude qualitative d'ensembles et d'autre part, celui de l'étude de la stabilité d'un système dynamique. Les méthodes numériques proposées combinent le calcul par intervalles et la théorie des graphes. De nombreux problèmes, comme l'étude de l'espace des configurations d'un robot, se ramènent à une étude qualitative d'ensembles. Ici, la ``taille'' de l'ensemble importe peu, ce qui compte, c'est sa ``topologie''. Les méthodes proposées calculent des invariants topologiques d'ensembles. Les ensembles considérés sont décrits à l'aide d'inégalités \mathcal{C}^{\infty}. L'idée maîtresse est de décomposer un ensemble donné en parties contractiles et d'utiliser l'homologie de \v Cech. La seconde partie de la thèse concerne l'étude de point asymptotiquement stables des systèmes dynamiques (linéaires ou non). Plus largement, on propose une méthode pour approcher le bassin d'attraction d'un point asymptotiquement stable. Dans un premier temps, on utilise la théorie de Lyapunov et le calcul par intervalle pour trouver effectivement un voisinage inclus dans le bassin d'attraction d'un point prouvé asymptotiquement stable. Puis, on combine, une fois de plus, la théorie des graphes et les méthodes d'intégration d'équations différentielles ordinaires pour améliorer ce voisinage et ainsi construire un ensemble inclus dans le bassin d'attraction de ce point.


  • Résumé

    This dissertation proposes, in a first place, numerical methods to compute qualitative properties of sets and, in a second place, algorithms to estimate the attraction domain of an equilibrium state. All the proposed approaches combine interval analysis and graph theory. Many problems, as studing the configuration space of a robot, amount to analysing topological properties of a given set. In this thesis, we define methods to compute topological invariants of a given set. Those sets are defined by \mathcal{C}^{\infty} inequalities. The main idea is to decompose the given set into subsets that are proven contractible and to use \v Cech homology. The second part of the thesis presents a method to estimate the attraction domain of an asymptotically stable equilibrium state x_{\infty}. First, one uses interval analysis and Lyapunov theory to compute a neighboorhood of x_{\infty} included in the attraction domain. Then, we combine graph theory and inclusion methods of O. D. E. To improve this neighboorhood and estimate the attraction domain.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (x-141 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 137-141

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