Algorithmique de la réduction de réseaux et application à la recherche de pires cas pour l'arrondi de fonctions mathématiques

Lattice reduction algorithms and application to the search of worst cases for the rounding of mathematical functions

• Auteur / Autrice : Damien Stehlé
• Direction : Paul Zimmermann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arithmétique en virgule flottante

Géométrie des nombres

Résumé

Les réseaux euclidiens sont un outil très puissant dans plusieurs domaines de l'algorithmique, en cryptographie et en théorie algorithmique des nombres par exemple. L'objet du présent mémoire est dual : nous améliorons les algorithmes de réduction des réseaux, et nous développons une nouvelle application dans le domaine de l'arithmétique des ordinateurs. En ce qui concerne l'aspect algorithmique, nous étudions le cas des petites dimensions et décrivons une nouvelle variante de l'algorithme LLL. Du point de vue de l'application nous utilisons la méthode de Coppersmith permettant de trouver les petites racines de polynômes modulaires, pour calculer les pires cas pour l'arrondi des fonctions mathématiques, quand la fonction et la précision sont donnés. Nous adaptons notre technique aux mauvais cas simultanés pour deux fonctions. Ces deux méthodes sont des pré-calculs coûteux, qui une fois effectués permettent d'accélérer les implantations des fonctions élémentaires en précision fixe.

Euclidean lattices are a powerful tool for several algorithmic topics, among which are cryptography and algorithmic number theory. The contributions of this thesis are twofold : we improve lattice basis reduction algorithms, and we introduce a new application of lattice reduction, in computer arithmetic. Concerning lattices, we consider both small dimensions and arbitrary dimensions, for which we improve the classical LLL algorithm. Concerning the application, we make use of Coppersmith's method for computing the small roots of multivariate modular polynomials, in order to find the worst cases for the rounding of mathematical functions, when the function, the rounding mode and the precision are fixed. We also generalise our technique to find input numbers that are simultaneously bad for two functions. These two methods are expensive pre-computations, but once performed, they help speeding up the implementations of elementary mathematical functions in fixed precision.