Courbes algébriques réelles et courbes pseudoholomorphes réelles dans les surfaces réglées

• Auteur / Autrice : Erwan Brugallé
• Direction : Ilia Itenberg
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Rennes 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dessins d'enfants (mathématiques)

Théorie des tresses

Hilbert, Problèmes de

Singularités (mathématiques)

Géométrie symplectique

Topologie

Surfaces algébriques

Courbes algébriques

Résumé

Cette thèse est motivée par l'étude des courbes algébriques réelles planes. Les ovales d'une courbe plane de degré pair sont divisés en ovales pairs et impairs. Généralisant une construction d'Itenberg, nous montrons que les bornes sur le nombre de ces deux types d'ovales, données par les inégalités de Harnack et de Petrovsky, sont asymptotiquement maximales. Un problème ouvert est celui de l'existence d'un schéma réel pseudoholomorphiquement mais non algébriquement réalisable pour un degré fixé. Nous exhibons deux schémas réels réalisables par des courbes pseudoholomorphes séparantes symétriques de degré 7 mais pas par de telles courbes algébriques. On utilise dans cette thèse les graphes rationnels réels, permettant d'étudier les arrangements réels des racines de polynômes P, Q et P+Q. Nous ramenons l'existence de P et Q à celle d'un certain graphe rationnel. Nous donnons aussi un algorithme permettant d'étudier les courbes algébriques réelles trigonales.