Problèmes directs et inverses autour de l'équation de Helmholtz

Direct and inverse problems for the Helmholtz equation

• Auteur / Autrice : Emmanuel Frédéric Jalade
• Direction : Yves Dermenjian
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs, Théorie des

Équations, Systèmes d'

Équations aux dérivées partielles

Résumé

Ce travail de th`ese concerne essentiellement létude de perturbations de l'équation de Helmholtz sur des ouverts extérieurs connexes et réguliers. Plus précisément, si k > 0 et K est un sous-ensemble compact de complémentaire connexe, et régulier, de R3, on regarde des probl`emes de la forme (E) - u - k2u = F(x, u,. . . ) o`u F est une certaine fonctionnelle. On rajoute `a l'infini une condition de rayonnement sortant (ou entrant) de Sommerfeld,de sorte que l'on obtient en général un probl`eme bien posé, gr˜ace au principe d'absorption limite. Si l'on impose seulement la condition de finitude de Sommerfeld, on obtient un ensemble de solutions de (E), sur un ouvert extérieur, dont l'on regarde dans le Chapitre 1 certaines propriétés. Dans le chapitre 2, on étudie, pour l'équation (E), le phénom`ene dit des potentiels barri`eresʺ et l'on prouve un résultatde convergence en norme des opérateurs pour la résolvante sortante. Un résultat similaire est également démontré dans le chapitre 3, dans le cas o`u l'on consid`ere une suite d'obstacles de capacité H1 tendant vers 0. On retrouve `a la limite le probl`eme sans obstacle, et l'on caractérise la rapidité de la convergence enfonction de la capacité H1. Dans le chapitre 4, on s'intéresse au scattering par un nuage de petits obstacles sphériques , et une formulation mathématique de l'éapproximation de Born au premier ordre est démontrée. `A partir de cette formulation, un algorithme de reconstruction approchée du nuage de sph`eres est développé, par une méthode de scattering inverse. Dans le chapitre 5, on travaille sur des perturbations non linéaires de l'équation de Helmholtz. A l'aide de méthodes topologiques, en particuliers liées `a la théorie du degré de Leray-Schauder ou au principe de prolongement analytique, on démontre des résultats d'existence et d'unicité de solutions vérifiant la condition de rayonnement sortant de Sommerfeld. A partir de l`a, un probl`eme inverse lié `a l'unicité des coefficients d'une famille d'équations de Helmholtz non linéaires est étudié dans le Chapitre 6 : on retrouve un coefficient de la partie non linéaire en utilisant une méthode de scattering inverse non conventionnelle.

This work concerns perturbations of the Helmholtz Equation on exterior regular domains. For any obstacle K (possibly composed of many components) of R3, we are interested in problems of the form (E) - u - k2u = F(x, u,. . . ) on R 3\K. The solution u is supposed to satisfy the Dirichlet (on @K) and outgoing Sommerfeld conditions. So, (E) is well-posed. In chapter 1, we first consider weaker Sommerfeld conditions for u and consider the equation (E). In chapter 2, we study high potentials, with a compact support, and prove a result of convergence for outgoing resolvents. A similar result is proved in Chapter 3, concerning a sequence of obstacles with H1-capacity going to 0. Chapter 4 deals with scattering by a cloud of spherical obstacles , and a Born formula is proved. From this last result, we study the inverse scattering for obstacles composed of little spheres, and we show how the positions of the spheres can approximately be recovered. In Chapter 5, we study nonlinear perturbations of the Helmholtz Equation with the outgoing Sommerfeld condition. Thanks to topological methods, we prove existence and unicity results for the solutions. An inverse problem for the nonlinear Helmholtz Equation is considered in Chapter 6 : the nonlinear part of the equation is recovered using a non-conventional inverse scattering method.