Solutions exactes de la gravité réduite : effet Hall quantique de spin

• Auteur / Autrice : Nicolas Regnault
• Direction : Denis Bernard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique théorique
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés libres

Systèmes intégrables

Groupe de Geroch

Equations de Yang-Baxter

Modèle de Chalker-Coddington

Résumé

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de la gravité en l'absence de matière lorsque la métrique ne dépend que deux variables. En s'appuyant sur une nouvelle paire de Lax basée sur l'algèbre sl(2, R) affine déformée par un automorphisme d'ordre 2 et l'algèbre de Virasoro, nous obtenons une méthode purement algébrique (sans calcul d'intégrale) pour engendrer l'ensemble des solutions. Les éléments de la métrique sont alors exprimés par des déterminants. Toujours à l'aide de cette paire de Lax, nous étudions la structure symplectique de la théorie. Nous montrons que ce modèle non ultralocal conduit à des équations de Yang-Baxter modifiées ne faisant intervenir que de purs c-nombres. Nous présentons aussi une méthode pour calculer les observables classiques à l'aide de conditions aux limites raisonnables. Dans la seconde partie, nous nous attachons à regarder l'effet Hall quantique de spin. Nous étudions une généralisation du modèle de Chalker-Coddingtonen considérant un grand nombre de degrés de liberté de spin possédant une symétrie SP(2N). Nous mettons en évidence une direction dans l'espace des constantes de couplage dite isotrope, qui est préservée par le flot de renormalisation et attractive dans la région des constantes de couplages positives. Nous montrons que le modèle sigma effectif pour cette direction correspond, dans la limite où N est grand, à une théorie massive dans la limite infrarouge. La dernière partie est dédiée à la présentation de l'application de l'algorithme du groupe de renormalisation numérique utilisant la matrice de densité à l'effet Hall quantique fractionnaire. Nous présentons l'ensemble des notions bases nécessaires à une telle étude. A titre de complément, nous appliquons une partie des outils numériques développés à la détermination des constantes de couplage de la molécule magnétique Mn(12)Ac.

The first part is dedicated to the study of gravity in vaccuum when the metric depends only of two variables. Using new Lax pair based on sl(2, R) affine twisted algebra by an order 2 automorphism and Virasoro algebra, we obtain a purely algebraic method (without any integral) to generate all solutions. Metric elements are given by formulae involving determinants. With this new Lax pair, we also study the symplectic structure of the theory. Despite the fact that this model is non ultralocal, we deduce pure c-number Yang Baxter modified equations. We describe how to construct classical observables assuming boundary conditions based on physical hypothesis. The second part deals with the spin quantum Hall effect. We study a generalisation of Chalker-Coddington model, based on a high number of spin degrees of freedom with an Sp(2N) symmetry. We show that there is a direction in coupling constant space, called isotropic direction, preserved by the renormalization flow and attractive in region where coupling constants are positive. We evaluate an effective sigma model for this direction and prove that it corresponds to a massive theory in infrared limit and for large value of N. Finally, the last part is dedicated to a brief survey of density matrix renormalization group algorithm applied to fractional quantum Hall effect. We give some details about basic notions and technics needed for this study. Moreover, we apply some of the numerical tools developed for the DMRG algorithm to find the coupling constants of the Mn(12)Ac magnetic molecule.