Quelques méthodes d'éléments finis mixtes raffinées basées sur l'utilisation des champs de Raviart-Thomas

• Auteur / Autrice : Hasna El Sossa
• Direction : Luc Paquet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Valenciennes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polygones

Éléments finis, Méthode des

Laplacien

Mots clés libres

Eléments finis raffinés

Elément finis mixtes

Eléments finis triangulaires et quadrilatéraux

Transformation de Piola

Champs de Raviart-Thomas

Système de Stokes

Résumé

Dans ce travail, nous étudions le raffinement de maillage pour des méthodes d’éléments finis mixtes et ce pour deux types de problèmes : le premier concerne le problème de Laplace et le second le problème de Stokes. Pour ces deux types de problèmes et dans des domaines non réguliers, les méthodes analysées jusqu’à présent, sont celles qui concernent des formulations mixtes « classiques » par exemple en vitesse pression pour le système de Stokes. Ici, nous analysons, pour le problème de Laplace, la formulation mixte duale en (p := grad u, u) et pour le système de Stokes, la formulation mixte duale en ((o := grad u,p), u). Pour le problème de Laplace, on approxime sur chaque triangle K de la triangulation, p par un champ de vecteurs de Raviart-Thomas de degré 0 (resp de degré 1) et u par une constante (resp par polynôme de degré 1). Pour obtenir une estimation d’erreur de l’ordre de h (resp de l’ordre de h²), nous utilisons un raffinement de maillage à la Raugel. Ensuite nous traitons le cas des éléments finis quadrilatéraux et nous proposons une famille régulière de quadrangulations permettant d’obtenir des majorations d’erreurs optimales. Nous nous intéressons ensuite au système de Stokes. Nous approximons sur chaque triangle K de la triangulation, chacune des deux lignes du tenseur o= u par un champ de vecteurs de Raviart-Thomas de degré 0 (resp. De degré 1), la pression p par une constante (resp. Par un champ de vecteurs dont chaque composante est un polynôme de degré de 1). En utilisant, un raffinement de maillage à la Raugel, nous obtenons une estimation de l’erreur de l’ordre de h (resp. De l’ordre de h²), semblables à celles du cas régulier. Finalement nous traitons le cas d’élément finis quadrilatèraux. Nous utilisons le même type de familles raffinées de quadrangulations proposées que celles pour le problème de Laplace, pour obtenir des majorations d’erreurs optimales.

In this work, we study the refinement of mesh for the mixed finite elements methods and this for two types of problems: the first concerns the problem of Laplace and the second the problem of Strokes. For these two types of problems and in nonregular domains, the methods analysed until now, are those which relate to “traditional” mixed formulations such as the velocity-pressure formulation for the Strokes problem. Here, we analyse, for the Laplace equation, the dual mixed formulation in (p : = grad u, u) and for the system of Strokes, the dual mixed formulation in ((o := grad u,p) , u). For the problem of Laplace, we approximate on each triangle K of the triangulation p by a Raviart-Thomas vectorfield of degree 0 (resp. Of degree 1) and u by a constant on each triangle K (resp. By a polynomial of degree 1). To recapture convergence of order 1, we must use a refinement of the meshes according to Raugel method. Then we treat the case of finite elements of quadrilateral type and we propose appropriate regular family of quadrangulations, in order to obtain the optimal order of convergence. We investigate next the system of Strokes. We approximate on each triangle K each of the two lines of the tensor o by a Raviart-Thomas vectorfields of degree 0 (resp. 1), the pressure p by a constant (resp. By a polynomial of degree 1) and u by constant vectorfields (resp. By fieldvectors whose each component is a polynomial of degree of 1). Using, an appropriate refinement mesh of Raugel’s type, we obtain an error estimate of order h (resp. Of order h²), similar to those in the regular case. Finally we treat finite elements of the quadrilateral type. We use analogous refined family of quadrangulations as proposed for the problem of Laplace, to obtain optimal order of convergence.