Unicité forte et ensembles nodaux pour des opérateurs elliptiques d'ordre 4

Strong unicity and nodal sets for elliptic operators of order 4

• Auteur / Autrice : Philippe Le Borgne
• Direction : Claudy Cancelier, Luc Robbiano
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Reims
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Reims Champagne-Ardenne. UFR des sciences exactes et naturelles

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs elliptiques

Hausdorff, Mesures de

Théorèmes d'unicité

Mathématiques

Résumé

On etablit comme premier resultat l'unicite forte pour des operateurs elliptiques a(x,d), d'ordre 4, a coefficients lipschitziens complexes definis dans un ouvert connexe de r m (m 2) se factorisant en deux operateurs d'ordre 2, q1 et q2 tels que q 1(0,d) = q 2(0,d) = -. L'inegalite associee a l'unicite forte est la suivante |a(x,d)u| c 1 |u|/|x| 4 + c 2|*u|/|x| 3 + c 3(|| = 2|d u| 2) 1 / 2/|x| 2 + c 4||=3|d u|/|x| 1 > 0, c 1, c 2, c 3 et c 4 sont des constantes positives, c 3 < 3/2. La preuve de ce theoreme repose sur l'utilisation d'inegalites de carleman. Dans la suite a(x,d) est le carre d'un operateur elliptique d'ordre 2 tel que a(0,d) = 2 et possede donc la propriete d'unicite forte en tout point x 0 ,. Notre second resultat permet alors de comparer localement toute solution de l'inegalite |a(x,d)u(x)| c | | 3|d u(x)|, ou c est une constante strictement positive, u , h 4 l o c() et u 0, a un polynome biharmonique homogene p x 0 au sens ou pour tout x 0 , , u(x) = p x 0( x 0(x x 0) + x 0(x x 0), x 0 est une transformation affine, le terme d'erreur x 0(x x 0) s'annule en x 0 a un ordre strictement superieur au degre de p x 0. Ce theoreme de decomposition permet d'obtenir des resultats quantitatifs relativement aux mesures de hausdorff des ensembles nodaux. Sous les conditions precedentes, la dimension de hausdorff de l'ensemble u = 0 ; *u = 0 est inferieure a m 1. En consequence, on prouve que l'ensemble u = 0 est de mesure de lebesgue nulle.