Calcul stochastique relatif a une classe de processus qui contient strictement les semi-martingales

• Auteur / Autrice : Mohammed Errami
• Direction : Francesco Russo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 13

Résumé

Dans cette these, nous developpons un calcul stochastique relatif a des processus qui ne sont pas des semimartingales. Dans ce travail nous faisons usage de deux techniques d'integration stochastique de nature trajectoire par trajectoire. La premiere procede par discretisation de l'integrateur et elle a ete decrite en 1981 par h. Follmer. La seconde procede par regularisation de l'integrateur et elle a ete etudie par f. Russo et p. Vallois a partir de 1991. Dans la premiere partie, nous nous sommes servis de la formulation de follmer pour developper un calcul stochastique relatif a un processus a variation quadratique finie x admettant des sauts. Nous appliquons ceci a l'etude d'une equation stochastique dirigee par un processus a variation quadratique finie a sauts. Lorsque x est une semimartingale, cette equation a ete introduite et etudiee par kurtz, pardoux et protter. Nous exprimons f(x) suivant une formule d'ito, lorsque x est un processus a variation quadratique finie satisfaisant quelques hypotheses techniques et f est une fonction c 1(r d) dont les derivees premieres sont holder continues. Exemples de tels processus sont les semimartingales reversibles avec quelques hypotheses particulieres sur les sauts. Dans la deuxieme partie, nous nous servons de la procedure de regularization introduite par russo-vallois. Nous definissons la n-variation d'un processus continu et la n-covariation d'un vecteur de processus continus lorsque n 2. Nous calculons explicitement la n-variation, lorsqu'elle existe, d'une convolution de martingales. Pour des processus x a variation cubique (3-variation) finie, nous etablissons un calcul stochastique de base. Enfin nous etudions existence et unicite de la solution d'une equation differentielle stochastique au sens symetrique - stratonovich, dirigee par un processus a variation cubique finie.