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Thèse soutenue

Groupe de renormalisation pour la transition au chaos dans les systèmes hamiltoniens

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Auteur / Autrice : Cristel Chandre
Direction : Hans Rudolf Jauslin
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Physique
Date : Soutenance en 1999
Etablissement(s) : Dijon

Résumé

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Cette thèse concerne l'étude de la stabilité des systèmes hamiltoniens en mécanique classique, à faible nombre de degrés de liberté. Un des mécanismes essentiels de la perte de stabilité est la brisure des tores invariants, qui jouent un rôle central dans la dynamique à grande échelle. Le but est de décrire le seuil de brisure des tores invariants et son mécanisme, par des outils issus de l'étude des transitions de phase par le groupe de renormalisation. L'idée est de construire une transformation de renormalisation à partir d'une série de changements canoniques de coordonnées, qui traite spécifiquement les résonances dominantes donnant lieu à des changements qualitatifs. Nos résultats permettent de conclure que cette transformation est un outil efficace pour la détermination des seuils de brisure des tores pour des systèmes hamiltoniens à deux et trois degrés de liberté. D'autre part, notre analyse indique que la brisure s'effectue de manière universelle. Les propriétés des tores invariants sont déduites du flot de renormalisation dans l'espace des hamiltoniens. Un ensemble attractif des trajectoires de renormalisation caractérise les hamiltoniens qui ont un tore invariant lisse. Un ensemble hyperbolique attire les hamiltoniens qui ont un tore au seuil de la brisure. La nature de cet ensemble hyperbolique donne les propriétés des tores critiques (autosimilarité, universalité). Pour les systèmes à deux degrés de liberté, les propriétés des tores critiques peuvent être déduites de l'étude de la renormalisation autour d'un unique attracteur étrange des trajectoires de renormalisation. L'ensemble des hamiltoniens qui ont un tore critique forme une surface fractale qui est la variété stable de l'attracteur hyperbolique. Pour des systèmes a trois fréquences incommensurables particulières, l'attracteur des trajectoires de renormalisation approchée pour les tores critiques est un attracteur étrange non-chaotique.