Fonctions courbes binaires et transformation de mobius

Binary bent functions and mobius transform

• Auteur / Autrice : Philippe Guillot
• Direction : Claude Carlet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Caen

Résumé

Cette these traite des fonctions booleennes et plus particulierement des fonctions courbes binaires en dimension paire n = 2r. La parti pris est de considerer les valeurs 0 et 1 comme des reels. On y developpe une representation fondee sur la transformation de mobius qui conduit a une decomposition de ces fonctions dans une base constituee d'intervalles. Cette approche permet de retrouver plus naturellement des resultats connus sur le degre et le poids et d'introduire un nouvel invariant affine defini a partir des valuations diadiques des coefficients. Les fonctions courbes sont caracterisees relativement a cette decomposition. Les proprietes de ces dernieres reposant largement sur l'existence d'une fonction duale, cette notion est generalisee a une classe plus importante de fonctions : les fonctions a deux biais. Le lien avec les codes projectifs a deux poids et les ensembles a differences partiels est etabli. On introduit une base constituee d'espaces vectoriels de dimension r = n/2, dans laquelle toute fonction courbe egale a sa duale en zero admet une decomposition a coefficients entiers. Ceci a pour consequence une caracterisation simple de la classe gps dont la completee par composition avec les translations s'avere recouvrir l'ensemble de toutes les fonctions courbes. Des algorithmes de calcul de cette decomposition sont presentes. Cette nouvelle approche arithmetique des fonctions booleennes rejoint certains problemes de theorie des nombres et permet de caracteriser les fonctions courbes comme solutions entieres d'equations diophantiennes quadratiques.