Applications de la methode de transcendance a deux problemes d'approximation diophantienne

Application of the transcendence methods to two problems of diophantine approximation

• Auteur / Autrice : Federico Pellarin
• Direction : DAVID SINOU
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Le texte de cette these est constitue de deux chapitres independants ou l'on applique des methodes de transcendance a des problemes d'approximation diophantienne sur les varietes abeliennes definies sur des corps de nombres. Le premier chapitre est entierement consacre au probleme de donner une borne superieure explicite pour le degre minimal d'une isogenie entre courbes elliptiques. On applique la methode de transcendance que l'on attribue communement a a. Baker, qui consiste ici a minorer deux formes lineaires simultanees en des logarithmes elliptiques de points algebriques des courbes elliptiques, en extrapolant sur une droite de derivations tantot sur les multiplicites, tantot sur le nombre de zeros (par periodicite des fonctions abeliennes). Nous raffinons un resultat de d. W. Masser et g. Wustholz, et nous donnons un resultat (theoreme 1. 1) completement effectif, dont la preuve fera l'objet du chapitre tout entier. Dans le deuxieme chapitre on calcule des bornes inferieures pour la distance euclidienne a l'origine d'un point algebrique d'ordre infini sur une variete abelienne definie sur un corps de nombres. Le resultat que l'on demontre (theoreme 1. 1) constitue une amelioration de l'inegalite de liouville pour les points de petite hauteur canonique : il s'agit d'une extension des resultats de m. Mignotte et m. Waldschmidt sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. La methode employee est inspiree de certains travaux de s. David sur les points de petite hauteur sur les varietes abeliennes.