Enveloppe injective de graphes et de systèmes de transitions et idéaux de mots

Injective envelope of graphs and transition systems

• Auteur / Autrice : Mustapha Kabil
• Direction : Maurice Pouzet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 1992
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maurice Pouzet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Rétractes, Théorie des

Espaces métriques

Graphes orientés

Enveloppes (géométrie)

Résumé

Cette these a pour but de montrer la pertinence du concept d'enveloppe injective dans la description des varietes de retractes absolus. Etant donne un systeme de transition m:=(q,t) sur un alphabet a, la distance entre deux etats x, y est le langage accepte par l'automate a:=(mx,y ayant x pour etat initial et y pour etat final. Nous supposons l'alphabet ordonne et muni d'une involution preservant l'ordre et nous considerons des systemes de transitions qui sont reflexifs et involutifs. Lorsque a est forme de deux lettres a,b et a=b, ces systemes sont ceux associes aux graphes reflexifs non necessairement symetrques et la distance zig-zag introduite par a. Quilliot en 1983. On peut voir les systemes de transitions reflexifs et involutifs comme des espaces metriques dont la distance prend ses valeurs dans l'algebre de heyting constituee des sections finales de a* muni de l'ordre de higman. De meme que, comme l'a montre j. Isbell, les espaces metriques ordinaires ont une enveloppe injective, chaque espace metrique a valeurs dans cette algebre de heyting a egalement une enveloppe injective; en outre celle-ci est un systeme de transition reflexif et involutif. Si dans le cas des espaces ordinaires, l'enveloppe injective d'un espace a deux elements est le segment qui joint ces deux elements, dans notre cas, meme sur l'alphabet a deux lettres, la structure de l'enveloppe injective peut etre tres compliquee. Or ces enveloppes injectives jouent un role important. Elles permettent de construire toutes les enveloppes injectives et ainsi determinent la variete ar#t formee des systemes de transitions qui sont retractes de toutes leurs extensions isometriques, systemes que nous appelons retractes absolus. Elles interviennent egalement dans la description des sous-varietes. Nous inspirant du schema de classification propose par d. Duffus et i. Rival, nous appelons representation d'un espace metrique e sur notre algebre de heyting toute famille (e#i) d'espaces metriques telle que e est retracte du produit e#i et chaque e#i est retracte de e. Nous disons qu'un espace metrique e est irreductible si pour toute representation (e#i) de e, l'espace e est retracte d'un certain e#i. L'espace e est indecomposable (resp. Finiment indecomposable) si pour toute famille (resp. Finie) (e#i) d'espaces metriques, e retracte du produit e#i implique qu'il est retracte de l'un des facteurs. Nous montrons que les irreductibles sont des enveloppes injectives d'espaces a deux elements. Avec une hypothese de finitude sur l'alphabet a, nous montrons que tout retracte absolu a une representation par des irreductibles. Nous montrons egalement que les sous-varietes de ar#t sont en nombre continupotent des que l'alphabet a au moins deux lettres. Pour une section finale f de a*, notons s#f l'enveloppe injective de l'espace a deux elements (x,y) tel que d(x,y)=f. Nous montrons que e est indecomposable (resp. Finiment indecomposable) si et seulement si il est de la forme s#f avec f completement irreductible (resp. Irreductible) dans l'algebre de heyting. Le premier cas revient a dire que f est de la forme a*u ou u est un mot, le second que f=a*j ou j est un ideal de a. Nous decrivons les systemes de transitions associes aux elements completement irreductibles de l'algebre de heyting et nous montrons qu'ils engendrent la variete des retractes absolus. Comme sous produit nous obtenons une description de la variete des graphes reflexifs non necessairement symetriques, semblable a celle obtenue par r. Nowakowski et i. Rival, et independamment par a. Quilliot, dans le cas symetrique. La description des finiment indecomposables fait appel a une description des ideaux de mots sur un alphabet ordonne. Nous montrons que tout ideal de mots est un produit fini d'ideaux de mots sur un alphabet ordonne. Nous montrons que tout ideal de mots est un produit fini d'ideaux de la forme j union le mot vide avec j ideal de a ou de la forme i* avec i section initiale de a si et seulement si l'alphabet est belordonne. Ce resultat avait ete obtenu par p. Jullien 4 dans le cas ou l'alphabet est une antichaine finie