Existence et régularité des formes optimales pour des problèmes d'optimisation spectrale

Existence and regularity of optimal shapes for some spectral optimization problems

• Auteur / Autrice : Baptiste Trey
• Direction : Emmanuel Russ, Bozhidar Velichkov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/06/2020
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Henrot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dorin Bucur, Guy David, Edouard Oudet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Susanna Terracini, François Hamel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laplacien

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Problème d'optimisation spectrale

Problème d'optimisation à plusieurs phases

Régularité des frontières libres

Problèmes à une phase et à deux phases

Quasi-Minimiseur

Terme de transport

Spectral optimization problem

Multi-Phase optimization problem

Regularity of the free boundaries

One-Phase and two-Phase problems

Almost-Minimizer

Drift

Résumé

Dans cette thèse, on étudie l'existence et la régularité des formes optimales pour certains problèmes d'optimisation spectrale qui font intervenir un opérateur elliptique avec condition de Dirichlet.On s'intéresse d'abord au problème de la minimisation de la valeur propre principale d'un opérateur avec un terme de transport borné.Que le terme de transport soit fixé ou non, ce problème admet une solution parmi les quasi-ouverts, et si le terme de transport est en outre le gradient d'une fonction Lipschitzienne, alors les solutions sont des ouverts localement de classe C^{1,alpha} en dehors de points exceptionnels.On étudie ensuite en dimension deux la régularité des solutions à un problème d'optimisation à plusieurs phases pour la première valeur propre du Laplacien de Dirichlet.Enfin, on s'intéresse aux ensembles optimaux pour la somme des k premières valeurs propres d'un opérateur elliptique sous forme divergence. On montre que les k premières fonctions propres sur un ensemble optimal sont lipschitziennes de sorte que les ensembles optimaux sont ouverts, et on étudie ensuite la régularité de la frontière des ensembles optimaux.

In this thesis, we study the existence and the regularity of optimal shapes for some spectral optimization problems involving an elliptic operator with Dirichlet boundary condition.First of all, we consider the problem of minimizing the principal eigenvalue of an operator with bounded drift under inclusion and volume constraints.Whether the drift is fixed or not, this problem admits solutions among the class of quasi-open sets, and if the drift is furthermore the gradient of a Lipschitz continuous function, then the solutions are open sets and C^{1,alpha}-regular except on a set of exceptional points.Next, we study in dimension two the regularity of the solutions to a multi-phase optimization problem for the first eigenvalue of the Dirichlet Laplacian.Finally, we focus on the optimal sets for the sum of the first k eigenvalues of an operator in divergence form. We prove that the first k eigenfunctions on an optimal set are Lipschitz continuous so that the optimal sets are open sets, and we then study the regularity of the boundary of the optimal sets.