Contrôle stochastique sur les réseaux

Stochastic control on networks

• Auteur / Autrice : Isaac Wahbi
• Direction : Pierre Cardaliaguet, Idris Kharroubi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2018
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision / CEREMADE
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Vathana Ly Vath
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Cardaliaguet, Idris Kharroubi, Vathana Ly Vath, Nicoletta Anna Tchou, Romuald Elie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicoletta Anna Tchou, Romuald Elie

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Recherche linéaire (optimisation mathématique)

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

Equations aux dérivées partiels paraboliques non linéaires

Conditions aux bords de Neumann

Equations d'Hamilton Jacobi Bellman

Diffusion stochastique

Temps local

Controle stochastique

Probleme martingale

Principe de la programmation dynamique

Junction

Junction

Non linear parabolic partial differential equations

Neumann boundary condition

Hamilton Jacobi Bellman equations

Stochastic diffusion

Local time

Stochastic control

Martingale problem

Dynamic programming principle

Résumé

Cette thèse se décompose en trois grandes parties, qui traitent des EDP quasi linéaires paraboliques sur une jonction, des diffusions stochastiques sur une jonction, et du contrôle optimal également sur une jonction, avec contrôle au point de jonction. Nous commençons au premier Chapitre par introduire une nouvelle classe d'EDP non dégénérée et quasi linéaire, satisfaisant une condition de Neumann (ou de Kirchoff) non linéaire et non dynamique au point de jonction. Nous prouvons l'existence d'une solution classique, ainsi que son unicité. L'une des motivations portant sur l'étude de ce type d'EDP, est de faire le lien avec la théorie du contrôle optimale sur les jonctions, et de caractériser la fonction valeur de ce type de problème à l'aide des équations d'Hamilton Jacobi Bellman. Ainsi, au Chapitre suivant, nous formulons une preuve donnant l'existence d'une diffusion sur une jonction. Ce processus admet un temps local, dont l'existence et la variation quadratique dépendent essentiellement de l'hypothèse d'ellipticité des termes du second ordre au point de jonction. Nous formulerons une formule d'Itô pour ce processus. Ainsi, grâce aux résultats de ces deux Chapitres, nous formulerons dont le dernier Chapitre un problème de contrôle stochastique sur les jonctions, avec contrôle au point de jonction. L'espace des contrôles est celui des mesures de Probabilités résolvant un problème martingale. Nous prouvons la compacité de l'espace des contrôles admissibles, ainsi que le principe de la programmation dynamique.

This thesis consists of three parts which deal with quasi linear parabolic PDE on a junction, stochastic diffusion on a junction and stochastic control on a junction with control at the junction point. We begin in the first Chapter by introducing and studying a new class of non degenerate quasi linear parabolic PDE on a junction, satisfying a Neumann (or Kirchoff) non linear and non dynamical condition at the junction point. We prove the existence and the uniqueness of a classical solution. The main motivation of studying this new mathematical object is the analysis of stochastic control problems with control at the junction point, and the characterization of the value function of the problem in terms of Hamilton Jacobi Bellman equations. For this end, in the second Chapter we give a proof of the existence of a diffusion on a junction. The process is characterized by its local time at the junction point, whose quadratic approximation is centrally related to the ellipticty assumption of the second order terms around the junction point.We then provide an It's formula for this process. Thanks to the previous results, in the last Chapter we study a problem of stochastic control on a junction, with control at the junction point. The set of controls is the set of the probability measures (admissible rules) satisfying a martingale problem. We prove the compactness of the admissible rules and the dynamic programming principle.