Étude de réseaux complexes de systèmes dynamiques dissipatifs ou conservatifs en dimension finie ou infinie. Application à l'analyse des comportements humains en situation de catastrophe.

Complex networks of dissipative or conservative dynamical systems in finite or infinite dimension. Application to the study of human behaviors during catastrophic events.

• Auteur / Autrice : Guillaume Cantin
• Direction : Moulay-Ahmed Aziz-Alaoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 12/10/2018
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale physique, sciences de l’ingénieur, matériaux, énergie (Saint-Etienne du Rouvray, Seine Maritime)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université du Havre (1984-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre (Le Havre, Seine-Maritime)
• Jury : Président / Présidente : Vitaly Volpert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Moulay-Ahmed Aziz-Alaoui, Vitaly Volpert, Danielle Hilhorst, Alain Miranville, Arnaud Ducrot, Nathalie Verdière
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Danielle Hilhorst, Alain Miranville

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Équations différentielles

Cycles limites

Bifurcation, Théorie de la

Synchronisation

Systèmes complexes

Mots clés libres

Système complexe

Système dynamique

Réseau couplé

Synchronisation

Modèle géographique

Bifurcation

Cycle limite

Équation différentielle

Equation aux dérivés partielles

Complex system

Dynamical system

Coupled network

Synchronization

Geographical model

Bifurcation

Limit cycle

Ordinary differential equation

Partial differential equation

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des systèmes complexes. Nous construisons des réseaux couplés à partir de multiples instances de systèmes dynamiques déterministes, donnés par des équations différentielles ordinaires ou des équations aux dérivées partielles de type parabolique, qui décrivent un problème d'évolution. Nous étudions le lien entre la dynamique interne à chaque nœud du réseau, les éléments de la topologie du graphe portant ce réseau, et sa dynamique globale. Nous recherchons les conditions de couplage qui favorisent une dynamique globale particulière à l'échelle du réseau, et étudions l'impact des interactions sur les bifurcations identifiées sur chaque nœud. Nous considérons en particulier des réseaux couplés de systèmes de réaction-diffusion, dont nous étudions le comportement asymptotique, en recherchant des régions positivement invariantes, et en démontrant l'existence d'attracteurs exponentiels de dimension fractale finie, à partir d'estimations d'énergie qui révèlent la nature dissipative de ces réseaux de systèmes de réaction-diffusion. Ces questions sont étudiées dans le cadre de quelques applications. En particulier, nous considérons un modèle mathématique pour l'étude géographique des réactions comportementales d'individus, au sein d'une population en situation de catastrophe. Nous présentons les éléments de modélisation associés, ainsi que son étude mathématique, avec une analyse de la stabilité des équilibres et de leurs bifurcations. Nous établissons l'importance capitale des chemins d'évacuation dans les réseaux complexes construits à partir de ce modèle, pour atteindre l'équilibre attendu de retour au comportement du quotidien pour l'ensemble de la population considérée, tout en évitant une propagation du comportement de panique. D'autre part, la recherche de solutions périodiques émergentes dans les réseaux d'oscillateurs nous amène à considérer des réseaux complexes de systèmes hamiltoniens pour lesquels nous construisons des perturbations polynomiales qui provoquent l'apparition de cycles limites, problématique liée au XVIème problème de Hilbert.

This thesis is devoted to the study of the dynamics of complex systems. We consider coupled networks built with multiple instances of deterministicdynamical systems, defined by ordinary differential equations or partial differential equations of parabolic type, which describe an evolution problem.We study the link between the internal dynamics of each node in the network, its topology, and its global dynamics. We analyze the coupling conditions which favor a particular dynamics at the network's scale, and study the impact of the interactions on the bifurcations identified on each node. In particular, we consider coupled networks of reaction-diffusion systems; we analyze their asymptotic behavior by searching positively invariant regions, and proving the existence of exponential attractors of finite fractal dimension, derived from energy estimates which suggest the dissipative nature of those networks of reaction-diffusion systems.Our framework includes the study of multiple applications. Among them, we consider a mathematical model for the geographical analysis of behavioral reactions of individuals facing a catastrophic event. We present the modeling choices that led to the study of this evolution problem, and its mathematical study, with a stability and bifurcation analysis of the equilibria. We highlight the decisive role of evacuation paths in coupled networks built from this model, in order to reach the expected equilibrium corresponding to a global return of all individuals to the daily behavior, avoiding a propagation of panic. Furthermore, the research of emergent periodic solutions in complex networks of oscillators brings us to consider coupled networks of hamiltonian systems, for which we construct polynomial perturbationswhich provoke the emergence of limit cycles, question which is related to the sixteenth Hilbert's problem.