Hauteur de cycles de variétés toriques

Height of cycles in toric varieties

• Auteur / Autrice : Roberto Gualdi
• Direction : Alain Yger, Martin Sombra
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 20/09/2018
• Etablissement(s) : Bordeaux en cotutelle avec Universitat internacional de Catalunya
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Charles Favre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alain Yger, Martin Sombra, Charles Favre, José Ignacio Burgos Gil, Huayi Chen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : José Ignacio Burgos Gil, Huayi Chen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés toriques

Arakelov, Théorie d'

Mots clés libres

Hauteurs

Variétés toriques

Géométrie d'Arakelov

Fonctions de Ronkin

Intégrale mixte

Heights

Toric varieties

Arakelov geometry

Ronkin functions

Mixed integral

Résumé

Nous étudions dans cette thése la relation entre certaines hauteurs d'Arakelov de cycles de variétés toriques et les caractéristiques arithmétiques des polynômes de Laurent qui les définissent. Pour cela, nous associons _a un polynôme de Laurent des fonctions concaves que nous appelons fonctions de Ronkin et fonctions supérieures. Nous donnons des bornes supérieures pour la hauteur d'une intersection compléte faisant intervenir les fonctions supérieures associées. Dans le cas d'une hypersurface, nous montrons une formule liant sa hauteur _a la fonction de Ronkin de son polynôme de Laurent. Nous proposons une égalité analogue pour des hauteurs moyennes appropriées en codimension supérieure et nous indiquons une stratégie pour la preuve d'un cas particulier. Dans ces travaux, nous utilisons des notions de géométrie convexe telles que les polytopes, les mesures de Monge-Ampére réelles et la dualité de Legendre- Fenchel de fonctions concaves. Nous les présentons dans un cadre algébrique adapté et nous développons l'étude des intégrales mixtes.

We investigate in this work the relation between suitable Arakelov heights of a cycle in a toric variety and the arithmetic features of its defining Laurent polynomials. To this purpose, we associate to a Laurent polynomial certain concave functions which we call Ronkin functions and upper functions. We give upper bounds for the height of a complete intersection in terms of the associated upper functions. For a hypersurfaces, we prove a formula relating its height to the Ronkin function of the associated Laurent polynomial. We conjecture an analogous equality for a suitable average height in higher codimensions and indicate a strategy for the proof of a particular case. In all the treatment, we deal with convex geometrical objects such as polytopes, real Monge-Ampère measures and Legendre-Fenchel duality of concave functions. We suggest an algebraic framework for such a study and deepen the understanding of mixed integrals.