Contrôle et stabilisation pour des équations hyperboliques et dispersives

Control and stablization of some hyperbolic and dispersive equations

• Auteur / Autrice : Chenmin Sun
• Direction : Gilles Lebeau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/07/2018
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : András Vasy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : András Vasy, Nicolas Burq, Belhassen Dehman, Nikolay Tzvetkov, Fabrice Planchon, Danela Oana Ivanovici
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Burq, Belhassen Dehman

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse mathématique

Singularités (mathématiques)

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Contrôle

Équations de Navier-Stokes

Équation de KP

Propagation des singularités

Analyse semi-classique

Control

Stokes system

KP equation

Propagation of singularity

Semi-classical analysis

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité et la stabilisation pour des équation hyperboliques et dispersives. La première partie de cette thèse est consacrée à la stabilisation du système de Stokes hyperbolique. La propagation des singularités pour le système de Stokes semi-classique est établie dans chapitre 1. La preuve repose sur la stratégie de Ivrii et Melrose-Sjöstrand.Cependant, par rapport à l’opérateur de Laplace, la difficulté est causée par la pression qui a un effet non trivial pour les solutions concentrées au bord. Nous utilisons la paramétrix des solutions près d’un point elliptique ou hyperbolique. Ensuite, on traite les solutions concentrées près de l’ensemble «glancing» par une décomposition micro-locale. L’effet de la pression est alors bien contrôlé grâce à la géométrie. Finalement on utilise un argument récurrence pour terminer la preuve. Par conséquent, nous prouvons la stabilisation du système de Stokes hyperbolique dans le chapitre 2 sous la condition de contrôle géométrique sur le support de l’amortissement.La deuxième partie est consacrée à la contrôlabilité et la stabilisation de l’équation de Kadomtsev-Petviashvili (KP en bref). Dans le chapitre 3, en utilisant l’analyse semi-classique, nous avons prouvé la contrôlabilité verticale pour des données dans L^2 (T). De plus, un résultat négatif concernant la contrôlabilité horizontale est aussi obtenu. Dans le chapitre 4, nous considérons la contrôlabilité de l’équation de KP-I linéaire. C’est un modèle intéressant dans lequel la vitesse de groupe peut être dégénéré. Plus général, on a obtenu le plus petit ordre requis pour assurer l’observabilité des équations de KP-I fractionnaire linéaire. Finalement dans le chapitre 5, nous avons montré la contrôlabilité et la stabilisation des ’equations de KP-II et 5KP-II avec grandes données initiales dans l’espace de Sobolev, si la donnée initiale satisfait certaines hypothèses de compacité partielles. Ceci généralise la contrôlabilité des solutions de KP-II avec données petites dans le chapitre 3.

In this thesis, we deal with the control and stabilization for certain hyperbolic and dispersive partial differential equations. The first part of this work is devoted to the stabilization of hyperbolic Stokes equation. The propagation of singularity for semi-classical Stokes system is established in Chapter 1. This will be done by adpating the strategy of Ivrii and Melrose-Sjöstrand. However,compared to the Laplace operator, the difficulty is caused by the pressure term which has non-trivial impact to solutions concentrated near the boundary. We apply parametrix construction to resolve the issue in elliptic and hyperbolic regions. We next adapte a fine micro-local decomposition for solutions concentrated near the glancing set. The impact of pressure to the solution is then well controled by geometric considerations. As a consequence of the main theorem in Chapter 1, we prove the stabilization of hyperbolic Stokes equation under geometric control condition in Chapter 2. The second part is devoted to the controllability of Kadomtsev–Petviashvili(KP in short) equations. In Chapter 3, the controllability in L 2 (T) from vertical strip is proved using semi-classical analysis. Additionally, a negative result for the controllability in L^2 (T) from horizontal strip is also showed. In Chapter 4, we prove the exact controllability of linear KP-I equation if the control input is added on a vertical domain. It is an interesting model in which the group velocity may degenerate. More generally, we have obtained the least dispersion needed to insure observability for fractional linear KP I equation. Finally in Chapter 5, we prove exact controllability and stabilization of KP-II equation and fifth order KP-II equation for any size of initial data in Sobolev spaces with additional partial compactness conditions. This extends the exact controllability for small data obtained in Chapter 3.compactness condition. This extends the exact controllability for small data obtained in Chapter 3.