Contribution à la stabilité de Lyapunov non-régulière des inclusions différentielles avec opérateurs monotones maximaux

Contribution to nonsmooth Lyapunov stability of differential inclusions with maximal monotone operators

• Auteur / Autrice : Bao tran Nguyen
• Direction : Samir Adly, Abderrahim Hantoute
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques et applications
• Date : Soutenance le 31/10/2017
• Etablissement(s) : Limoges en cotutelle avec Universidad de Chile
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Samir Adly, Abderrahim Hantoute, Van Ngai Huynh, Rafaël Correa
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fabian Flores-Bazan, Yboon victoria Garcia ramos

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs monotones

Inclusions différentielles

Liapounov, Stabilité de

Mots clés libres

Inclusions différentielles

Opérateurs monotones maximaux

Fonctions de Lyapunov

Ensembles invariants

Ensembles prox-réguliers

Opérateurs de type Cusco

Differential inclusion

Maximal monotone operators

Lyapunov function

Invariant set

Prox-regular sets

Cusco mapping

Résumé

Dans cette thèse de doctorat, nous apportons quelques contributions à la stabilité de Lyapunov non-régulière des inclusions différentielles de premier ordre avec opérateurs monotones maximaux, dans un cadre Hilbertien de dimension infini. Nous fournissons des caractérisations explicites, primales et/ou duales, des paires de Lyapunov faibles et fortes, dont les fonctions sont semi-continues inférieurement à valeurs réelles étendues, et associées à des inclusions différentielles dont la partie de droite est gouvernée par des perturbations Lipschitziennes des opérateurs dits Cusco F, ou des opérateurs monotones maximaux A, ou les deux à la fois x(t) ∈ F(x(t}} A(x(t}} t ≥ 0, x(0) ∈ domA. De manière équivalente, nous étudions l'invariance faible et forte des ensembles fermés pour ces inclusions différentielles. Comme dans L'approche classique de Lyapunov à la stabilité des équations différentielles, les résultats présentés dans cette thèse n'utilisent que les données du système différentiel; c'est-à-dire, l'opérateur A et la multifonction F, et donc pas besoin de connaître les solutions, ni les semi-groupes générés par les opérateurs monotones en question. Parce que les paires de Lyapunov sont formées par des fonctions qui sont simplement semi-continues inférieurement, et les ensembles invariants ne sont que ensembles fermés, nous faisons usage dans cette thèse à des outils de l'analyse non-lisse, afin de fournir des critères du premier ordre, utilisant des sous-différentiels généraux et des cônes normaux. Nous fournissons une analyse similaire pour les inclusions différentielles gouvernées par le cône normal proximal à des ensembles prox-réguliers. Notre analyse ci-dessus, nous a permis de présenter ces systèmes prox-réguliers d’apparence plus générale, comme des inclusions différentielles avec opérateurs monotones maximaux. Nous utilisons aussi nos résultats pour étudier la géométrie des opérateurs monotones maximaux, et plus précisément, la caractérisation de la frontière des valeurs de ces opérateurs seulement au moyen des valeurs situées à proximité, distinctes du point de référence. Ce résultat a des applications dans la stabilité des problèmes de la programmation semi-infinie. Nous utilisons également nos résultats sur les paires de Lyapunov et les ensembles invariants pour établir une étude systématique des observateurs de type Luenberger pour des inclusions différentielles avec des cônes normaux à des ensembles prox-réguliers.

In this PhD thesis, we make some contributions to nonsmooth Lyapunov stability of first-order differential inclusions with maximal monotone operators, in the setting of infinite-dimensional Hilbert spaces. We provide primal and dual explicit characterizations for parameterized weak and strong Lyapunov pairs of lower semicontinuous extended-real-valued functions, referred to as a-Lyapunov pairs, associated to differential inclusions with right-hand-sides governed by Lipschitz or Cusco perturbationsF of maximal monotone operators A, x(t) ∈ F(x(t}} A(x(t}} t ≥ 0, x(0) ∈ domA. Equivalently, we study the weak and strong invariance of sets with respect to such differential inclusions. As in the classical Lyapunov approach to the stability of differential equations, the presented results make use of only the data of the differential system; that is, the operator A and the multifunction F, and so no need to know about the solutions, nor the semi-groups generated by the monotone operators. Because our Lyapunov pairs and invariant sets candidates are just lower semicontinuous and closed, respectively, we make use of nonsmooth analysis to provide first-order-like criteria using general subdifferentials and normal cones. We provide similar analysis to non-convex differential inclusions governed by proximal normal cones to prox-regular sets. Our analysis above allowed to prove that such apparently more general systems can be easily coined into our convex setting. We also use our results to study the geometry of maximal monotone operators, and specifically, the characterization of the boundary of the values of such operators by means only of the values at nearby points, which are distinct of the reference point. This result has its application in the stability of semi-infinite programming problems. We also use our results on Lyapunov pairs and invariant sets to provide a systematic study of Luenberger-like observers design for differential inclusions with normal cones to prox-regular sets.