Approximation de fonctions et de données discrètes au sens de la norme L1 par splines polynomiales

Function and data approximation in L1 norm by polynomial splines

• Auteur / Autrice : Laurent Gajny
• Direction : Olivier Gibaru, Eric Nyiri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique
• Date : Soutenance le 15/05/2015
• Etablissement(s) : Paris, ENSAM
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences des métiers de l'ingénieur (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire des sciences de l'information et des systèmes (Marseille) - Laboratoire des Sciences de l'Information et des Systèmes
• Jury : Président / Présidente : Bernhard Beckermann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Gibaru, Eric Nyiri, Tom Lyche
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marie-Laurence Mazure, Gabriel Peyré

Mots clés

Mots clés contrôlés

Splines, Théorie des

Commande automatique

Mots clés libres

Approximation

Splines L1

Conservation de forme

Données bruitées

Planification de trajectoire

Algorithme par fenêtre glissante

Approximation

L1 splines

Shape preservation

Noisy data

Path planning

Sliding window algorithm

Résumé

L'approximation de fonctions et de données discrètes est fondamentale dans des domaines tels que la planification de trajectoire ou le traitement du signal (données issues de capteurs). Dans ces domaines, il est important d'obtenir des courbes conservant la forme initiale des données. L'utilisation des splines L1 semble être une bonne solution au regard des résultats obtenus pour le problème d'interpolation de données discrètes par de telles splines. Ces splines permettent notamment de conserver les alignements dans les données et de ne pas introduire d'oscillations résiduelles comme c'est le cas pour les splines d'interpolation L2. Nous proposons dans cette thèse une étude du problème de meilleure approximation au sens de la norme L1. Cette étude comprend des développements théoriques sur la meilleure approximation L1 de fonctions présentant une discontinuité de type saut dans des espaces fonctionnels généraux appelés espace de Chebyshev et faiblement Chebyshev. Les splines polynomiales entrent dans ce cadre. Des algorithmes d'approximation de données discrètes au sens de la norme L1 par procédé de fenêtre glissante sont développés en se basant sur les travaux existants sur les splines de lissage et d'ajustement. Les méthodes présentées dans la littérature pour ces types de splines peuvent être relativement couteuse en temps de calcul. Les algorithmes par fenêtre glissante permettent d'obtenir une complexité linéaire en le nombre de données. De plus, une parallélisation est possible. Enfin, une approche originale d'approximation, appelée interpolation à delta près, est développée. Nous proposons un algorithme algébrique avec une complexité linéaire et qui peut être utilisé pour des applications temps réel.

Data and function approximation is fundamental in application domains like path planning or signal processing (sensor data). In such domains, it is important to obtain curves that preserve the shape of the data. Considering the results obtained for the problem of data interpolation, L1 splines appear to be a good solution. Contrary to classical L2 splines, these splines enable to preserve linearities in the data and to not introduce extraneous oscillations when applied on data sets with abrupt changes. We propose in this dissertation a study of the problem of best L1 approximation. This study includes developments on best L1 approximation of functions with a jump discontinuity in general spaces called Chebyshev and weak-Chebyshev spaces. Polynomial splines fit in this framework. Approximation algorithms by smoothing splines and spline fits based on a sliding window process are introduced. The methods previously proposed in the littérature can be relatively time consuming when applied on large datasets. Sliding window algorithm enables to obtain algorithms with linear complexity. Moreover, these algorithms can be parallelized. Finally, a new approximation approach with prescribed error is introduced. A pure algebraic algorithm with linear complexity is introduced. This algorithm is then applicable to real-time application.