Projection Markovienne de processus stochastiques

• Auteur / Autrice : Amel Bentata
• Direction : Rama Cont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Markov, Processus de

Semimartingales (mathématiques)

Kolmogorov, Équation de

Résumé

Cette thèse porte sur l' étude mathématique du problème de projection Markovienne des processus stochastiques : il s'agit de construire, étant donné un processus aléatoire, un processus de Markov ayant à chaque instant la même distribution que celui-ci. Cette construction permet ensuite de déployer les outils analytiques disponibles pour l'étude des processus de Markov (équations aux dérivées partielles ou équations integro-différentielles) dans l' étude des lois marginales d'un processus aléatoire général, même lorsque ce dernier n'est pas markovien. D'abord étudié dans un contexte probabiliste, notamment par Gyöngy (1986), ce problème a connu un regain d'intérêt motivé par les applications en finance, sous l'impulsion des travaux de B. Dupire. Une étude systématique des aspects probabilistes est entreprise (construction d'un processus de Markov mimant les lois marginales d'un processus aléatoire) ainsi qu'analytiques (dérivation d'une équation integro-différentielle) de ce problème, étendant les résultats existants au cas de semimartingales discontinues et contribue à éclaircir plusieurs questions mathématiques soulevées dans cette littérature. Ces travaux donnent également une application de ces méthodes, montrant comment elles peuvent servir à réduire la dimension d'un problème à travers l'exemple de l' évaluation des options sur indice en finance.

This PhD thesis studies various mathematical aspects of problems related to the Markovian projection of stochastic processes, and explores some applications of the results obtained to mathematical finance, in the context of semimartingale models. Given a stochastic process, modeled as a semimartingale, our aim is to build a Markov process whose marginal laws are the same as the first one. This construction allows us to use analytical tools such as integro-differential equations to explore or compute quantities involving the marginal laws of a general stochastic process, even when it is not Markovian. We present a systematic study of this problem from probabilistic viewpoint and from the analytical viewpoint. On the probabilistic side, given a discontinuous semimartingale we give an explicit construction of a Markov process which mimics the marginal distributions of a general stochastic process, as the solution of amartingale problems for a certain integro-differential operator. This construction extends the approach of Gyöngy to the discontinuous case and applies to a wide range of examples which arise in applications, in particular in mathematical finance. On the analytical side, we show that the flow of marginal distributions of a discontinuous semimartingale is the solution of an integro-differential equation, which extends the Kolmogorov forward equation to a non-Markovian setting. As an application, we derive a forward equation for option prices in a pricing model described by a discontinuous semimartingale. This forward equation generalizes the Dupire equation, originally derived in the case of diffusion models, to the case of a discontinuous semimartingale. .