Processus de diffusion discret : opérateur laplacien appliqué à l'étude de surfaces

Digital diffusion processes : discrete Laplace operator for discrete surfaces

• Auteur / Autrice : Frédéric Rieux
• Direction : Christophe Fiorio, Christian Mercat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 30/08/2012
• Etablissement(s) : Montpellier 2
• Ecole(s) doctorale(s) : Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; École Doctorale ; 2009-2014)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique, de robotique et de micro-électronique (Montpellier ; 1992-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Fiorio, Christian Mercat, Rémy Malgouyres, David Coeurjolly, Jacques-Olivier Lachaud, Thierry Monteil
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rémy Malgouyres, David Coeurjolly

Mots clés

Mots clés contrôlés

Traitement d'images

Markov, Processus de

Courbure

Laplacien

Géométrie discrète

Mots clés libres

Geométrie spectrale

Géométrie discrète

Estimation de courbure

Opérateur de Laplace

Estimations Normales

Spectral geometry

Discrete geometry

Curvature estimation

Laplace operator

Normals estimation

Résumé

Le contexte est la géométrie discrète dans Zn. Il s'agit de décrire les courbes et surfaces discrètes composées de voxels: les définitions usuelles de droites et plans discrets épais se comportent mal quand on passe à des ensembles courbes. Comment garantir un bon comportement topologique, les connexités requises, dans une situation qui généralise les droites et plans discrets ? Le calcul de données sur ces courbes, normales, tangentes, courbure, ou des fonctions plus générales, fait appel à des moyennes utilisant des masques. Une question est la pertinence théorique et pratique de ces masques. Une voie explorée, est le calcul de masques fondés sur la marche aléatoire. Une marche aléatoire partant d'un centre donné sur une courbe ou une surface discrète, permet d'affecter à chaque autre voxel un poids, le temps moyen de visite. Ce noyau permet de calculer des moyennes et par là, des dérivées. L'étude du comportement de ce processus de diffusion, a permis de retrouver des outils classiques de géométrie sur des surfaces maillées, et de fournir des estimateurs de tangente et de courbure performants. La diversité du champs d'applications de ce processus de diffusion a été mise en avant, retrouvant ainsi des méthodes classiques mais avec une base théorique identique.

The context of discrete geometry is in Zn. We propose to discribe discrete curves and surfaces composed of voxels: how to compute classical notions of analysis as tangent and normals ? Computation of data on discrete curves use average mask. A large amount of works proposed to study the pertinence of those masks. We propose to compute an average mask based on random walk. A random walk starting from a point of a curve or a surface, allow to give a weight, the time passed on each point. This kernel allow us to compute average and derivative. The studied of this digital process allow us to recover classical notions of geometry on meshes surfaces, and give accuracy estimator of tangent and curvature. We propose a large field of applications of this approach recovering classical tools using in transversal communauty of discrete geometry, with a same theorical base.