Formules de courant dans les systèmes mésoscopiques

Current formulas in mesoscopic systems

• Auteur / Autrice : Céline Gianesello
• Direction : Valentin Zagrebnov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/11/2011
• Etablissement(s) : Toulon
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de physique théorique (CPT) (Marseille ; Toulon)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Guides d'ondes

Courants électriques

Systèmes mésoscopiques

Mots clés libres

Systèmes mésoscopiques

Torsion

Landauer-Büttiker

Mesoscopic system

Twisting

Landauer-Büttiker

Résumé

Le sujet principal de la thèse est le transport dans les systèmes mésoscopiques. Dans une première partie de lathèse, on étudie le cas d’un branchement adiabatique d’un biais de potentiel sur un système unidiensionnel sansrépartition initiale. On démontre que le courant complet est uniformément borné par rapport à la vitesse debranchement adiabatique, lorsque celle-ci tend vers zéro. On démontre l’existence de la partie linéaire de l’étatet du courant. La seconde partie de la thèse a donné lieu à a publication d’un article et elle consiste en l’étuded’un modèle discret, sans répartition initiale. On démontre que, dans ce système et après une perturbationélectrochimique, il existe un état stationnaire hors équilibre, et on retrouve la formule de Landauer-Büttikerpour ce modèle. La dernière partie de la thèse, qui a également donné lieu à un article, porte sur l’étude del’approximation des guides d’onde quantiques par des graphes quantiques. On s’intéresse à un guide d’ondelocalement torsadé. On étudie moins le Laplacien sur ce guide d’onde torsadé. Lorsque e diamètre du guidetend vers zéro et, simultanément, lorqsue le support de la courbure tend vers zéro, on démontre que le graphelimite est la ligne droite, et que l’opérateur limite est moins le Laplacien sur L2 (R) plus une condition deDirichlet à l’origine. Cette condition de Dirichlet est la conséquence des rétrécissements faits. En Annexe, ondonne des démonstrations et explications plus détaillées et utiles pour la compréhension de points clés de lathèse.

The main topic of the thesis is the transport in mesoscopic systems. In the first part of the work, we study thecase of a connection through an adiabatic potential on a one dimensional system without initial distribution, wesaid a “partition-free approach”. It is shown that the full current is uniformly bounded with respect to theadiabatic speed of connection, when it goes to zero. We prove the existence of the linear part of the state andcurrent. The second part of the thesis has led to publication of an article and deals with the study of a discretemodel without initial distribution. We prove that in this system and after an electrochemical disturbance thereexists a nonequilibrium steady state, and the Landauer-Büttiker formula is demonstrated for this model.The last part of the thesis, which also has led to an article, concerns the study of the approximation of quantumwaveguides by quantum graphs. We are interested in a waveguide locally twisted. We studyminus theLaplacian on this locally twisted waveguide. When the diameter of the guide goes to zero and simultaneouslywhen the support of the twisting goes to zero, we prove that the limit graph is the straight line, and the limitoperator is minus the Laplacian on the straight line plus a Dirichlet condition at the origin. The Dirichletcondition is the consequence of the shrinking done. In the appendix, we