Problèmes d’Optimisation Stochastique avec Contrainte de Sac-à-Dos

Stochastic Optimization Problems with Knapsack Constraint

• Auteur / Autrice : Stefanie Kosuch
• Direction : Abdel-Ilah Lisser
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ordres stochastiques

Problème du sac à dos

Algorithmes

Résumé

Etant donné un ensemble d'objets, chacun ayant un poids et une valeur. Le problème de sac-à-dos consiste à choisir un sous-ensemble d'objets qui (i) respecte une certaine restriction du poids (la capacité du sac-à-dos) et (ii) dont la valeur totale est maximisée. Dans cette thèse nous étudions quatre problèmes d'optimisation stochastique avec contrainte de sac-à-dos: le problème de sac-à-dos avec recours simple, le problème de sac-à-dos avec contrainte probabiliste, le problème de sac-à-dos avec recours et un problème bi-niveau stochastique avec contrainte de sac-à-dos probabiliste. Les problèmes ont en commun que les poids dans la contrainte de sac-à-dos sont supposés être aléatoires. Nous proposons de résoudre les problèmes du sac-à-dos avec recours simple ou avec contrainte probabiliste en appliquant un algorithme « branch-and-bound ». Des bornes supérieures sont obtenues en résolvant des relaxations continues. Pour ceci, nous appliquons un algorithme de gradient stochastique. Concernant le cas du sac-à-dos avec recours, nous traitons dans un premier temps le problème avec des poids gaussiens et nous proposons des bornes inférieures et supérieures sur sa valeur optimale. Dans un deuxième temps, nous étudions le cas d’une distribution discrète des poids. Nous montrons que (si P n'est pas égal à NP) le problème déterministe équivalent n’admet pas d’algorithme d’approximation avec une garantie de performance égale à une valeur constante. Le problème bi-niveau stochastique avec contrainte de sac-à-dos probabiliste est d’abord reformulé comme un problème bilinéaire. Ce dernier étant difficile à résoudre à l’optimum, nous proposons de résoudre une relaxation avec un nouvel algorithme itératif.