Analyse de méthodes de résolution parallèles d’EDO/EDA raides

Analysis of parallel methods for solving stiff ODE and DAE

• Auteur / Autrice : David Guibert
• Direction : Damien Tromeur-Dervout
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 10/09/2009
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Génie des Procédés Catalytiques - Service Central d'Analyse - Institut Camille Jordan [Villeurbanne]
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Lacabanne
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jocelyne Erhel, Luc Giraud

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Simulation par ordinateur

Équations différentielles algébriques

Mots clés libres

Complément de Schur

Correction du résidu

Décomposition de domaine en temps

Equations différentielles ordinaires algébriques

Jacobian Free Newton-Krylov

Paralléisatin

Parareal/Pita

Deferred correction method

Time decomposition method

Ordinary and algebraic differential equation

Jacobian Free Newton-Krylov

Parallelisation

Runge-Kutta

Résumé

La simulation numérique de systèmes d’équations différentielles raides ordinaires ou algébriques est devenue partie intégrante dans le processus de conception des systèmes mécaniques à dynamiques complexes. L’objet de ce travail est de développer des méthodes numériques pour réduire les temps de calcul par le parallélisme en suivant deux axes : interne à l’intégrateur numérique, et au niveau de la décomposition de l’intervalle de temps. Nous montrons l’efficacité limitée au nombre d’étapes de la parallélisation à travers les méthodes de Runge-Kutta et DIMSIM. Nous développons alors une méthodologie pour appliquer le complément de Schur sur le système linéarisé intervenant dans les intégrateurs par l’introduction d’un masque de dépendance construit automatiquement lors de la mise en équations du modèle. Finalement, nous étendons le complément de Schur aux méthodes de type "Krylov Matrix Free". La décomposition en temps est d’abord vue par la résolution globale des pas de temps dont nous traitons la parallélisation du solveur non-linéaire (point fixe, Newton-Krylov et accélération de Steffensen). Nous introduisons les méthodes de tirs à deux niveaux, comme Parareal et Pita dont nous redéfinissons les finesses de grilles pour résoudre les problèmes raides pour lesquels leur efficacité parallèle est limitée. Les estimateurs de l’erreur globale, nous permettent de construire une extension parallèle de l’extrapolation de Richardson pour remplacer le premier niveau de calcul. Et nous proposons une parallélisation de la méthode de correction du résidu.

This PhD Thesis deals with the development of parallel numerical methods for solving Ordinary and Algebraic Differential Equations. ODE and DAE are commonly arising when modeling complex dynamical phenomena. We first show that the parallelization across the method is limited by the number of stages of the RK method or DIMSIM. We introduce the Schur complement into the linearised linear system of time integrators. An automatic framework is given to build a mask defining the relationships between the variables. Then the Schur complement is coupled with Jacobian Free Newton-Krylov methods. As time decomposition, global time steps resolutions can be solved by parallel nonlinear solvers (such as fixed point, Newton and Steffensen acceleration). Two steps time decomposition (Parareal, Pita,...) are developed with a new definition of their grids to solved stiff problems. Global error estimates, especially the Richardson extrapolation, are used to compute a good approximation for the second grid. Finally we propose a parallel deferred correction