Formalisation et automatisation du raisonnement géométrique en Coq

Formalization and automation of geometric reasoning using Coq

• Auteur / Autrice : Julien Narboux
• Direction : Hugo Herbelin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Axiomatique de Tarski

Méthode des aires

Diagramme

Résumé

L'objet de cette thèse est la formalisation et l'automatisation du raisonnement géométrique au sein de l'assistant de preuve Coq. Dans une première partie, nous réalisons un tour d'horizon des principales axiomatiques de la géométrie puis nous présentons une formalisation des huit premiers chapitres du livre de Schwabäuser, Szmielew et Tarski: Metamathematische Methoden in der Geometrie. Dans la seconde partie, nous présentons l'implantation en Coq d'une procédure de décision pour la géométrie affine plane : la méthode des aires de Chou, Gao et Zhang. Cette méthode produit des preuves courtes et lisibles. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à la conception d'une interface graphique pour la preuve formelle en géométrie : Geoproof. GeoProof combine un logiciel de géométrie dynamique avec l'assistant de preuve Coq. Enfin, nous proposons un système formel diagrammatique qui permet de formaliser des raisonnements dans le domaine de la réécriture abstraite. Il est par exemple possible de formaliser dans ce système la preuve diagrammatique du lemme de Newman. La correction et la complétude du système est prouvée vis-à-vis d'une classe de formules appelée logique cohérente.

This thesis deals with the formalization and automation of geometric reasoning within the Coq proof assistant. In the first part, we provide an overview of the main axiom systems for geometry and we present a mechanization of the geometry of Tarski. This consists in the formalization of the first eight chapters of the book of Schwabäuser, Szmielew and Tarski: Metamathematische Methoden in der Geometrie. In the second part, we present our implementation in Coq of a decision procedure for affine plane geometry : the area method of Chou, Gao and Zhang. This method produces short and readable proofs. In the third part, we explain the design of a graphical user interface for formal proof in geometry: GeoProof. GeoProof combines a dynamic geometry software with the Coq proof assistant. Finally, we propose a diagrammatic formal system to perform proofs in the field of abstract term rewriting. For instance, using this system we can formalize the diagrammatic proof of the Newman's lemma. The system is proved correct and complete for a class of formulas called the coherent logic.