Recherche d'ensembles de Julia de mesure de Lebesgue positive

TaSearch for Julia sets with positive Lebesgue measure

• Auteur / Autrice : Arnaud Chéritat
• Direction : Adrien Douady
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Applications quasi conformes

Polynômes

Mots clés libres

Dynamique holomorphe

Implosion parabolique

Taille asymptotique

Petits diviseurs

Mesure positive

Résumé

Nous introduisons la notion de taille asymptotique d'un point parabolique, qui nous permet de démontrer une conjecture de Douady, ainsi que de donner une nouvelle preuve d'un théorème de Yoccoz. Nous donnons une constuction géométrique d'une application holomorphe, qui généralise aux applications de cornes des résultats que la fraction de Blaschke z au carré fois z moins trois sur un moins trois z permettait d'obtenir pour les polynômes quadratiques ayant un point fixe indifférent de nombre de rotation de type constant. Nous énonçons deux conjectures et deux hypothèses et prouvons qu'elles impliquent l'existence d'un irrationnel theta tel que le polynôme P de z égale rho fois z plus z au carré, avec rho égale exponentielle de i fois deux fois pi fois theta, ait un ensemble de Julia J de mesure de Lebesgue strictement positive.

We define the asymptotic size of a parabolic fixed point, that enables to prove a conjecture of Douady and to give a new proof of a theorem of Yoccoz. We give a geometric construction of a holomorphic map, that extends to horn maps some results that the Blaschke fraction z squared times z minus three over one minus three z gave for quadratic polynomials with an indifferent fixed point of bounded type rotation number. We state two conjectures and two hypotheses, and prove that they imply the existence of an irrational theta such that the polynomial P of z equals rho times z plus z squared, with rho equals exponential of i times two times pi times theta has a Julia set J of positive Lebesgue measure.