Courbes polaires et courbure des fibres de milnor des courbes planes

• Auteur / Autrice : Evelia García Barroso
• Direction : Bernard Teissier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Le but de ce travail est d'etudier les proprietes des courbes polaires generiques p(t) d'un germe reduit de courbe analytique complexe plane c a partir des proprietes de c. Nous nous interessons au contact avec les branches de c des branches de p(t). Plus precisement, nous enoncons un theoreme optimal (comme le montre un exemple) de decomposition en paquets des branches de p(t). L'ensemble de ces paquets est indexe par le graphe d'eggers qui ne depend que du type topologique (de sa classe d'equisingularite) de la courbe c donnee. Par construction, toutes les branches d'un meme paquet ont le meme contact avec chacune des branches de c et en consequence un certain nombre des premiers termes du developpement de puiseux de chaque branche de p(t) sont independants de t d'apres l'interpretation du contact comme mesure de coincidence entre les parametrisations. Toutes les proprietes qu'on en deduit ne dependent que du type topologique de c ; en particulier la decomposition en paquets fournit des invariants numeriques du type topologique de c, dont on savait dans le cas ou c est irreductible qu'ils determinent ce type topologique. Cependant ils ne sont pas suffisants pour determiner le type topologique de c quand c est reduite non irreductible. Nous introduisons les invariants polaires partiels et nous montrons qu'ils ne dependent que de la topologie de la courbe c et la determinent completement si nous connaissons de plus la multiplicite a l'origine de chaque branche de c. En utilisant les resultats sur les courbes polaires, nous etudions le comportement asymptotique de la courbure des fibres de milnor associees a la courbe c. Nous montrons que cette courbure se concentre asymptotiquement dans des boules evanescentes a differentes echelles, ces echelles ne dependant que de la topologie de la courbe c.