Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long de solutions pour deux familles d'EDP non linéaires. D'une part, on s'intéresse à l'équation de Schrödinger non linéaire cubique sur le groupe de Heisenberg, qui constitue une équation sans dispersion. On sait qu'il existe des solutions ondes progressives minimisantes radiales pour toute vitesse dans ]-1,1[, et on montre des propriétés de stabilité orbitale de ces ondes progressives à partir de l'étude d'un système limite obtenu en faisant tendre la vitesse vers 1. Ce système limite joue le même rôle que l'équation de Szegő cubique pour l'équation de demi-onde cubique. Puis, on établit en basse régularité le caractère presque-sûrement localement bien posé du problème de Cauchy randomisé associé à une équation de Schrödinger-Grushin proche pour une grande famille de données initiales. D'autre part, on analyse deux équations apparentées à l'équation de Benjamin-Ono en utilisant les propriétés d'intégrabilité de l'équation de Benjamin-Ono. Pour l'équation du troisième ordre dans la hiérarchie de Benjamin-Ono, on étudie le problème de Cauchy, on caractérise les solutions ondes progressives, puis on détermine leurs propriétés de stabilité orbitale. Pour une équation de Benjamin-Ono amortie par les petits modes de Fourier cos et sin, on décrit les limites faibles des trajectoires en temps infini, puis on montre l'absence de croissance des normes de Sobolev d'ordre supérieur en temps infini.