Hooley's Delta functions twisted by characters and applications
Fonctions Delta de Hooley associées à des caractères et applications
Résumé
Delta functions are arithmetic functions which measure the logarithmic concentration of the divisors of an integer. They were introduced by Hooley in a paper published in 1979. In a paper published in 2012, La Bretèche and Tenenbaum investigated the behaviour of a Delta function when it is twisted by an oscillating function such as a non trivial Dirichlet character. In this thesis, I am interested in two problems linked to the work of La Bretèche and Tenenbaum. The first problem is to study the behaviour of a Delta function twisted by a non trivial Dirichlet character on a bigger logarithmic scale. The second deals with a Delta function twisted by two non trivial Dirichlet characters. Finally, in a last part, I give an application of my second result, consisting to give an asymptotic estimate of the number of ideals which norm is the value of a binary form of degree 3 in the case of a cyclic extension of Q of degree 3.
Les fonctions Delta sont des fonctions arithmétiques qui permettent de mesurer la concentration logarithmique des diviseurs d'un entier. Elles ont été introduites par Hooley dans un article publié en 1979. Dans un article paru en 2012, La Bretèche et Tenenbaum ont étudié le comportement d'une fonction Delta lorsque celle-ci est associée à une fonction oscillante telle qu'un caractère de Dirichlet non principal. Dans cette thèse, je m'intéresse à deux problèmes liés aux travaux de La Bretèche et Tenenbaum. Le premier consiste à étudier le comportement d'une fonction Delta associée à un caractère sur une échelle logarithmique plus grande. Le second traite d'une fonction Delta lorsque celle-ci est associée à deux caractères de Dirichlet non principaux. Enfin, dans une dernière partie, je fournis une application de mon second résultat, consistant à déterminer un équivalent asymptotique du nombre d'idéaux dont la norme est la valeur d'un forme binaire de degré 3 dans le cas d'une extension cyclique de Q de degré 3.
Origine : Version validée par le jury (STAR)