L’étude et l’implémentation des algorithmes de couplages sur des courbes hyperelliptiques sur des corps premiers

The study and implementation of pairing algorithms on hyperelliptic curves over prime fields

• Auteur / Autrice : Mohammed Zitouni
• Direction : Farid Mokrane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 14/09/2021
• Etablissement(s) : Paris 8
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Cognition, langage, interaction (Saint-Denis, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire d'analyse, géométrie et application
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nadia El Mrabet-Poinsot, Pascal Boyer, Mitsuru Kawazoe, Simon Abelard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David R. Kohel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Couplage, Théorie du

Corps finis

Courbes elliptiques

Mots clés libres

Courbes hyperelliptiques

Couplage

Courbes idéales aux couplages

Corps finis

Protocole fondé sur l’identité

Hyperelliptic curves

Pairing-friendly curves

Pairings

Finite field

Identity-based encryption

Résumé

La recherche de nouveaux groupes autres que le groupe multiplicatif pour concevoir des protocoles plus constructifs en cryptographie est devenue un défi depuis 2000. Plusieurs groupes ont émergé tels que le groupe des points rationnels d'une courbe elliptique et la Jacobienne d'une courbe hyperelliptique. De plus, les couplages sont devenus des outils encore plus pratiques pour concevoir de nouveaux protocoles en cryptographie tels que le chiffrement basé sur l'identité et la signature courte. Cette thèse étudie l'implémentation des algorithmes de couplages sur des courbes hyperelliptiques sur des corps premiers. D'une part, nous considérons le choix des courbes hyperelliptiques à utiliser et la construction des courbes hyperelliptiques de genre deux avec une Jacobienne ordinaire sur des corps premiers. D'autre part, nous améliorons les calculs de couplages sur différentes courbes hyperelliptiques. L'implémentation du couplage de Tate sur des jacobiennes ordinaires des courbes de genre 2 sur de large corps premiers et à plusieurs niveaux de sécurité. L'optimisation de la quantité non négligeable d'opérations qui doivent être optimisées pour rendre le coût de l'utilisation des appariements en cryptographie plus raisonnable. Enfin, nous donnons un schéma concret de cryptage basé sur l'identité en utilisant le couplage de Tate sur une courbe hyperelliptique de genre 2.

Looking for new groups other than multiplicative group to design more constructive protocols in cryptography became the challenge since 2000. Several groups have emerged such as the group of rational points of an elliptic curve and the Jacobian of a hyperelliptic curve. Furthermore, pairings became even more practical tool to design new protocols in cryptography such as identity-based encryption and short signature. This thesis studies the implementation of pairing algorithms on hyperelliptic curves over prime fields. On the one hand, we regard the choice of the hyperelliptic curves to be used and the construction of genus two hyperelliptic curve of the ordinary Jacobian over a large prime field. On the other hand, we improve the pairing computations on different hyperelliptic curves. Tate pairing are implemented on ordinary Jacobian curves over a large prime field for several security levels. The optimization of the non negligible amount of operations that must be optimised to make the cost of using pairings in cryptography more reasonable. Finally, we give a concrete identity-based encryption scheme using the Tate pairing over genus two hyperelliptic curve.