Méthodes variationnelles pour les équations d’Hamilton-Jacobi et applications

Variational methods for Hamilton-Jacobi equations and applications

• Auteur / Autrice : Hamza Ennaji
• Direction : Noureddine Igbida, Van Thanh Nguyen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques et applications
• Date : Soutenance le 22/02/2021
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Président / Présidente : Jean-François Aujol
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Noureddine Igbida, Van Thanh Nguyen, Quentin Mérigot, Francisco Silva
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julián Toledo, Guillaume Carlier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Reconnaissance des formes (informatique)

Lagrange, Fonctions de

Théorie du transport

Hamilton-Jacobi, Équations de

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Équations d’Hamilton-Jacobi

Transport optimal

Dualité de Fenchel-Rockafellar

Lagrangien augmenté

Shape from Shading

Hamilton-Jacobi equations

Optimal transport

Fenchel-Rockafellar duality

Augmented Lagrangian

Shape from Shading

Résumé

L’objectif de cette thèse est de proposer des méthodes variationnelles pour l’analyse mathématiques et numérique d’une classe d’équations d’HJ. Le caractère métrique de ces équations permet de caractériser l’ensemble des sous-solutions, à savoir, elles sont 1-Lipschitz par rapport à la distance Finslerienne associée au Hamiltonien. De manière équivalente, cela revient à dire que le gradient de ces fonctions appartient à une certaine boule Finslerienne. La solution recherchée est la sous-solution maximale, qui peut être décrite par une formule du type Hopf-Lax, qui résout un problème de maximisation avec contrainte sur le gradient. Nous dérivons un problème dual associé faisant intervenir la variation totale Finslerienne de mesures vectorielles avec contrainte divergente. Nous exploitons la structure de point-selle pour proposer une résolution numérique avec la méthode du Lagrangien augmenté. Cette caractérisation de l’équation d’HJ montre aussi le lien avec des problèmes de transport optimal vers/depuis le bord. Ce lien avec le transport optimal de masse nous amène à généraliser l’approche d’Evans-Gangbo. En effet, nous montrons que la sous-solution maximale de l’équation d’HJ s’obtient en faisant tendre p→∞ dans une classe de p-Laplaciens de type Finsler avec des obstacles sur le bord. Cela nous permet aussi de construire le flux optimal pour le problème de Beckmann associé. Parmi les applications que l’on regarde, le problème du Shape from Shading qui consiste à reconstruire la surface d’un objet en 3D à partir d’une image en nuances de gris de cet objet.

In this thesis we propose some variational methods for the mathematical and numerical analysis of a class of HJ equations. Thanks to the metric character of these equations, the set of subsolution corresponds to the set of 1-Lipschitz functions with respect to the Finsler metric associated to the Hamiltonian. Equivalently, it corresponds to the set of functions whose gradient belongs to a Finsler ball. The solution we are looking for is the maximal one, which can be described via a Hopf-Lax formula, solves a maximization problem under gradient constraint. We derive the associated dual problem which involves the Finsler total variation of vector measures under a divergence constraint. We take advantage of this saddle-point structure to use the augmented Lagrangian method for the numerical approximation of HJ equation. This characterization of the HJ equation allows making the link with some optimal transport problems. This link with optimal transport leads us to generalize the Evans-Gangbo approach. In fact, we show that the maximal viscosity subsolution of the HJ equation can be recovered by taking p→ ∞ in a class of Finslerp-Laplace problems with boundary obstacles. In addition, this allows us to construct the optimal flow for the associated Beckmann problem. As an application, we use our variational approach for the Shape from Shading problem.