Codes Polaires Quantiques

par Ashutosh Goswami

Thèse de doctorat en Mathématiques et informatique

Sous la direction de Valentin Savin et de Mehdi Mhalla.

Le président du jury était Jean-Pierre Tillich.

Le jury était composé de Cécilia Lancien.

Les rapporteurs étaient Omar Fawzi, Joseph Renes.


  • Résumé

    Dans la théorie de l'information classique, les codes polaires sont la première construction explicite d'une famille de codes correcteurs d’erreurs qui atteignent la capacité de n'importe quel canal classique, discret sans mémoire. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux généralisations des codes polaires au cas des canaux quantiques. Nous commençons par passer en revue une construction de type Calderbank-Shor-Steane (CSS) des codes polaires pour les canaux quantiques opérant sur des systèmes de dimension 2 (qubits). Cette construction exploite le phénomène de polarisation classique à la fois en base de phase et en base d’amplitude. Nous proposons ensuite une approche différente, qui s’intéresse à un phénomène de polarisation quantique. Ainsi, le premier théorème important de cette thèse prouve une « polarisation purement quantique » des canaux quantiques opérant sur des systèmes de dimension supérieure ou égale à 2 (qudits). Ce phénomène de polarisation permet de synthétiser des canaux dits « virtuels », qui ont tendance à être soit complètement débruités, soit complètement bruités, en tant que canaux quantiques, et pas seulement en une base. Il utilise une opération dite de « combinaison » de deux canaux quantiques, définie par une opération à deux qudits, opérant sur les entrées des deux canaux, et choisie de manière aléatoire dans un ensemble fini d’opérations. Profitant de ce phénomène de polarisation, nous construisons un code quantique efficace assisté par enchevêtrement, où les canaux complètement bruités sont figés en prenant en entrée la moitié d'une paire EPR pré-partagée entre l'encodeur et le décodeur. Nous montrons que la construction proposée permet d’atteindre un taux de communication d’information quantique égal à la capacité symétrique du canal quantique pour communication assistée par enchevêtrement. De plus, en enchaînant plusieurs codes polaires quantiques, nous proposons un schéma de codage qui utilise les paires EPR pré-partagées comme catalyseur, de sorte que le taux d'enchevêtrement pré-partagé s'annule asymptotiquement.Par la suite, nous nous concentrons sur une importante famille de canaux quantiques appelés canaux de Pauli, opérant sur des qubits. Etant donné un canal Pauli, nous lui associons un canal classique à alphabet quaternaire, et nous montrons que le premier se polarise quantiquement si et seulement si ce dernier se polarise classiquement. Sur la base du canal classique associé, nous fournissons une preuve alternative de la polarisation quantique pour les canaux de Pauli. De manière plus importante, nous fournissons également un moyen efficace de décoder les canaux de Pauli, en décodant le code polaire sur le canal classique associé. Nous considérons également une polarisation multiniveau des canaux de Pauli, où la polarisation se produit à plusieurs niveaux, de sorte que les canaux virtuels synthétisés peuvent également être « semi-bruités », au lieu d'être complètement débruités ou complètement bruités. Cette construction n'utilise pas la randomisation de l'opération de combinaison de canaux. Nous montrons ensuite que les canaux semi-bruités peuvent être figés soit en base de phase, soit en base d’amplitude. Par conséquent, la polarisation à plusieurs niveaux peut être utilisée efficacement pour construire un schéma de codage quantique.Enfin, nous exposons nos travaux en cours sur les codes polaires quantiques CSS, dans le contexte du calcul quantique tolérant aux fautes. Nous fournissons des procédures tolérantes aux fautes pour la préparation d’états quantiques logiques et pour l'extraction du syndrome d'erreur. Ainsi, nous pouvons protéger un état logique pendant un temps arbitrairement long, dans la limite d’un bruit suffisamment faible. De plus, pour le traitement de l'information quantique, nous fournissons des procédures tolérantes aux fautes pour mettre en œuvre les portes logiques de Pauli, Hadamard et CNOT.

  • Titre traduit

    Quantum Polar Codes


  • Résumé

    In classical information theory, polar codes are the first explicit construction of a family of codes that provably achieve the channel capacity for any discrete memoryless classical channel. In this thesis, we investigate the generalizations of polar codes to the case of quantum channels with qudit-inputs, where the dimension of the qudit quantum system is greater than or equal to 2. We start by reviewing the Calderbank-Shor-Steane (CSS) quantum polar coding,which is proposed for quantum systems of dimension 2 (qubits). The CSS quantum polar codes utilize the fact that the recursive construction of polar codes using the quantum CNOT gate yields classical polarization in both the amplitude and phase bases. The first important theorem of this thesis proves a “purely quantum polarization” for qudit-input quantum channels, where synthesized virtual channels tend to be either completely noiseless or noisy as quantum channels, and not merely in a basis. The channel combining operation for purely quantum polarization is randomly chosen from a finite set of two-qudit unitaries.Taking advantage of this purely quantum polarization phenomenon, we constructan efficient quantum code, where the completely noisy channels are frozen by half of a preshared EPR pair between the encoder and decoder. Hence, our quantum polar code is entanglement assisted. Further, it achieves a quantum communication rate equal to half the symmetric mutual information, which is the symmetric channel capacity for the entanglement assisted quantum communication. Moreover, by chaining several quantum polar codes, we provide a coding scheme, which uses the preshared EPR pairs as catalyst, so that the rate of preshared entanglement vanishes asymptotically. Subsequently, we focus on an important family of quantum channels known as qubit Pauli channels. Given a Pauli channel, we associate to it a classical channel with a four symbol set as the input alphabet, and show that the former polarizes quantumly if and only if the latter polarizes classically. Based on the classical counterpart channel, we provide an alternative proof of quantum polarization for the Pauli channel. More importantly,we also provide an efficient way to decode Pauli errors by decoding the polar codeon the classical counterpart channel. We also consider a multilevel polarization for Pauli channels, where polarization happens in multi-levels, such that the synthesized virtual channels can also be “half-noisy” instead of being completely noiseless or noisy. This construction does not use randomization of the channel combining operation. Further, we show that half-noisy channels can be frozen in either the amplitude or the phase basis. Hence, multilevel polarization can be effectively used to construct a quantum polar coding scheme.Finally, we report on our ongoing work on CSS quantum polar codes in the context of fault tolerant quantum computing. We provide fault tolerant procedures for preparing logical encoded quantum states and for error syndrome extraction. Hence, we can protect the encoded logical states for an arbitrarily long time in the low noise limit. Further, for quantum information processing, we provide fault tolerant procedures to implement the logical Pauli, the Hadamard, and the CNOT gates. Therefore, the only thing missing to have universal fault tolerant quantum computing with polar codes is a fault tolerant procedure for the implementation of the T gate.


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