Flots d'Anosov et sections de Birkhoff

Anosov flows and Birkhoff sections

• Auteur / Autrice : Théo Marty
• Direction : Erwan Lanneau, Pierre Dehornoy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/09/2021
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Thierry Barbot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christine Lescop, Étienne Ghys
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Bonatti, Chris Leininger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anosov, Flots d'

Cobordisme

Mots clés libres

Topologie

Système dynamique

Section de Birkhoff

Flot d'Anosov

Dynamical system

Topology

Birkhoff section

Anosov flow

Résumé

Nous étudions les flots d’Anosov en dimension 3. Ces flots ont des dynamiques chaotiques intéressantes, plus précisément ils ont des comportements hyperboliques aux voisinages de leurs orbites. Pour comprendre ces flots, nous utilisons des surfaces transverses aux flots, appelées sections de Birkhoff. Via l'application dite de premier retour sur une section de Birkhoff, la dynamique du flot est partiellement encodée par la dynamique d'un homéomorphisme d'une surfaces. Cette dynamique discrète est alors en dimension 2.Dans une première partie, nous calculons explicitement les applications de premier retour d’une famille de sections de Birkhoff à bord fixé. Cela permet de comparer ces applications de premier retour sur plusieurs sections de Birkhoff. Dans une seconde partie nous étudions le bord des sections de Birkhoff et leurs orientations. Nous interprétons une section de Birkhoff comme un cobordisme transverse au flot, de son bord positif vers son bord négatif. Deux notions naturelles apparaissent alors : les flots vrillés (qui admettent un cobordisme transverse nul) et les orbites primitives de ces flots (qui ne sont pas des bords positif de cobordisme transverse). Ces notions que nous allons étudier contiennent des informations sur la topologie du flot et de la variété ambiante.

We study the Anosov flows, in dimension 3. These flows have interesting chaotic behaviors, more precisely they have hyperbolic behaviors on the neighborhood of there orbits. To understand these flows, we use some surfaces transverse to the flows, called Birkhoff sections. Thanks to the so called first return map on one Birkhoff section, the dynamic of the flow is partially encoded by the dynamic of a homeomorphism of a surface. This discret dynamic being in dimension 2.In a first part, we explicitly compute le first return maps of a family of Birkhoff sections with a fixed boundary. It allows one to compare the first return maps of the flow on several Birkhoff sections. In a second part, we study the boundaries of the Birkhoff sections and their orientations. A Birkhoff section is interpreted as a transverse cobordism of the flow, from its positive boundary to its negative boundary. Two natural notions appear: the twisted flows (which admit some transverse null-cobordism) and the primitive orbits of these flows (which are the positive boundary of no transverse cobordism). We study these notions, which contain some information on the topology of the flow and of the global manifold.