Approximation et réduction de modèle pour les équations aux dérivées partielles avec interprétation probabiliste

Approximation and model reduction for partial differential equations with probabilistic interpretation

• Auteur / Autrice : Arthur Macherey
• Direction : Anthony Nouy, Marie Billaud, Clémentine Prieur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 28/06/2021
• Etablissement(s) : Ecole centrale de Nantes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Jury : Président / Présidente : Tony Lelièvre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anthony Nouy, Marie Billaud, Clémentine Prieur, Tony Lelièvre, Mireille Bossy, Benjamin Jourdain, Pierre Etoré
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mireille Bossy, Benjamin Jourdain

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes gloutons

Monte-Carlo, Méthode de

Analyse numérique

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Approximation en grande dimension

Méthodes de bases réduites

Stratégies adaptatives

Méthodes de Monte-Carlo

Optimisation discrète

Partial differential equations

High-dimensional approximation

Reduced basis methods

Adaptive strategies

Monte-Carlo methods

Discrete optimization

Résumé

Nous nous intéressons dans cette thèse à la résolution numérique de modèles régis par des équations aux dérivées partielles admettant une interprétation probabiliste. Dans un premier temps, nous considérons des équations aux dérivées partielles en grande dimension. En nous basant sur une interprétation probabiliste de la solution qui permet d’obtenir des évaluations ponctuelles de celle-ci via des méthodes de Monte-Carlo, nous proposons un algorithme combinant une méthode d’interpolation adaptative et une méthode de réduction de variance pour approcher la solution sur tout son domaine de définition. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux méthodes de bases réduites pour les équations aux dérivées partielles paramétrées. Nous proposons deux algorithmes gloutons reposant sur une interprétation probabiliste de l’erreur. Nous proposons également un algorithme d’optimisation discrète probably approximately correct en précision relative qui nous permet, pour ces deux algorithmes gloutons, de sélectionner judicieusement un snapshot à ajouter à la base réduite en se basant sur la représentation probabiliste de l’erreur d’approximation.

In this thesis, we are interested in the numerical solution of models governed by partial differential equations that admit a probabilistic interpretation. In a first part, we consider partial differential equations in high dimension. Based on a probabilistic interpretation of the solution which allows to obtain pointwise evaluations of the solution using Monte-Carlo methods, we propose an algorithm combining an adaptive interpolation method and a variance reduction method to approximate the global solution. In a second part, we focus on reduced basis methods for parametric partial differential equations. We propose two greedy algorithms based on a probabilistic interpretation of the error. We also propose a discrete optimization algorithm probably approximately correct in relative precision which allows us, for these two greedy algorithms, to judiciously select a snapshot to add to the reduced basis based on the probabilistic representation of the approximation error