Quelques contributions des méthodes d’apprentissage bayésien et algorithmique aux problèmes de sélection de portefeuilles

Some contributions of Bayesian and computational learning methods to portfolio selection problems

• Auteur / Autrice : Johann Nicolle
• Direction : Huyên Pham, Carmine De Franco
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/10/2020
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Agnès Sulem
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Idris Kharroubi, Marie-Claire Quenez
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Claudia Ceci, Olivier Guéant

Mots clés

Mots clés contrôlés

Économie du bien-être

Réseaux neuronaux (informatique)

Apprentissage profond

Processus stochastiques

Gestion de portefeuille

Statistique bayésienne

Mots clés libres

Problème de Markowitz

Maximum drawdown

Drift incertain

Problème moyenne-variance

Markowitz problem

Maximum drawdown

Uncertain drift

Mean variance problem

Résumé

La présente thèse est une étude de différents problèmes d'allocation optimale de portefeuilles dans le cas où le taux d'appréciation, appelé le drift, du mouvement brownien de la dynamique des actifs est incertain. Nous considérons un investisseur ayant une croyance sur le drift sous la forme d'une distribution de probabilité, appelée a priori. L'incertitude sur le drift est prise en compte par une approche d'apprentissage bayésien qui permet de mettre à jour la distribution de probabilité a priori du drift. La thèse est divisée en deux parties autonomes ; la première partie contient deux chapitres : le premier développe les résultats théoriques, et le second contient une application détaillée de ces résultats sur des données de marché. La première partie de la thèse est consacrée au problème de sélection de portefeuilles de Markowitz dans le cas multidimensionnel avec incertitude de drift. Cette incertitude est modélisée via une loi arbitraire a priori qui est mise à jour à l'aide du filtrage bayésien. Nous avons d'abord transformé le problème de Markowitz bayésien en un problème auxiliaire standard de contrôle pour lequel la programmation dynamique est appliquée. Ensuite, nous montrons l'existence et l'unicité d'une solution régulière à l'équation aux dérivées partielles (EDP) semi-linéaire associée. Dans le cas d'une distribution a priori gaussienne, la solution multidimensionnelle est explicitement calculée. De plus, nous étudions l'impact quantitatif de l'apprentissage à partir des données progressivement observées, en comparant la stratégie qui met à jour l'estimation du drift, appelée stratégie apprenante, à celle qui la maintient constante, appelée stratégie non-apprenante. Pour finir, nous analysons la sensibilité du gain lié à l'apprentissage, appelé valeur d'information ou valeur informative, par rapport à différents paramètres. Ensuite, nous illustrons la théorie avec une application détaillée des résultats précédents à des données historiques de marché. Nous soulignons la robustesse de la valeur ajoutée de l'apprentissage en comparant les stratégies optimales apprenante et non-apprenante dans différents univers d'investissement : indices de différentes classes d'actifs, devises et stratégies smart beta. La deuxième partie aborde un problème d'optimisation de portefeuilles en temps discret. Ici, l'objectif de l'investisseur est de maximiser l'espérance de l'utilité de la richesse terminale d'un portefeuille d'actifs risqués, en supposant un drift incertain et une contrainte de maximum drawdown satisfaite. Dans cette partie, nous formulons le problème dans le cas général, et nous résolvons numériquement le cas gaussien avec la fonction d'utilité de type constant relative risk aversion (CRRA), via un algorithme d'apprentissage profond. Finalement, nous étudions la sensibilité de la stratégie au degré d'incertitude entourant l'estimation du drift et nous illustrons empiriquement la convergence de la stratégie non-apprenante vers un problème de Merton contraint, sans vente à découvert.

The present thesis is a study of different optimal portfolio allocation problems in the case where the appreciation rate, named the drift, of the Brownian motion driving the dynamics of the assets is uncertain. We consider an investor having a belief on the drift in the form of a probability distribution, called a prior. The uncertainty about the drift is managed through a Bayesian learning approach which allows for the update of the drift's prior probability distribution. The thesis is divided into two self-contained parts; the first part being split into two chapters: the first develops the theory and the second contains a detailed application to actual market data. A third part constitutes an Appendix and details the data used in the applications. The first part of the thesis is dedicated to the multidimensional Markowitz portfolio selection problem in the case of drift uncertainty. This uncertainty is modeled via an arbitrary prior law which is updated using Bayesian filtering. We first embed the Bayesian-Markowitz problem into an auxiliary standard control problem for which dynamic programming is applied. Then, we show existence and uniqueness of a smooth solution to the related semi-linear partial differential equation (PDE). In the case of a Gaussian prior probability distribution, the multidimensional solution is explicitly computed. Additionally, we study the quantitative impact of learning from the progressively observed data, by comparing the strategy which updates the initial estimate of the drift, i.e. the learning strategy, to the one that keeps it constant, named the non-learning strategy. Ultimately, we analyze the sensitivity of the gain from learning, called value of information or informative value, with respect to different parameters. Next, we illustrate the theory with a detailed application of the previous results on actual market data. We emphasize the robustness of the value added of learning by comparing learning to non-learning optimal strategies in different investment universes: indices of various asset classes, currencies and smart beta strategies. The second part tackles a discrete-time portfolio optimization problem. Here, the goal of the investor is to maximize the expected utility of the terminal wealth of a portfolio of risky assets, assuming an uncertain drift and a maximum drawdown constraint. In this part, we formulate the problem in the general case, and we solve numerically the Gaussian case with the Constant Relative Risk Aversion (CRRA) type utility function via a deep learning resolution. Ultimately, we study the sensitivity of the strategy to the degree of uncertainty of the drift and, as a byproduct, give empirical evidence of the convergence of the non-learning strategy towards a no short-sale constrained Merton problem