La méthode du Zoom Numérique pour des problèmes elliptiques perturbés et des problèmes non linéaires

The Numerical Zoom method for the elliptic perturbed problems and non-linear problems

• Auteur / Autrice : Adnan Alahmad
• Direction : Alexei Lozinski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/11/2020
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Grégory Vial
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexei Lozinski, Grégory Vial, Jacques Rappaz, Anthony Nouy
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jacques Rappaz, Anthony Nouy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Éléments finis, Méthode des

Mots clés libres

Elements finis

Zoom numérique

Problèmes non linéaires

Multi-Echelle

Multiscale

Numerical zoom

Nonlinear problems

Finite elements

Résumé

Nous proposons plusieurs nouvelles variantes de la méthode du Zoom Numérique et les étudions mathématiquement. Nous considérons principalement la situation suivante simple, mais pertinente aux applications pratiques : l'équation de Poisson dans un domaine contenant un petit trou. Nous utilisons un maillage global grossier qui ne voit pas le trou et corrigeons ce défaut grâce à un maillage fin placé autour du trou et conforme à celui-ci. Un algorithme itératif (zoom numérique multi-modèles ou couplage des modèles non intrusif) est alors proposé, résolvant alternativement les problèmes sur les maillages global et local. Nous introduisons un cadre mathématique pour ces méthodes sous des hypothèses très générales sur les maillages: le maillage fin peut être placé sur le maillage grossier de manière arbitraire. Nous analysons ensuite théoriquement à la fois la précision de la méthode par rapport aux raffinements du maillage et le taux de convergence des itérations. Nous comparons également cette approche avec la méthode des développements asymptotiques. Enfin, nous adaptons notre méthode aux problèmes monotones avec des non-linéarités localisées, en modifiant la preuve de convergence et en donnant une estimation d'erreur a priori.

We propose several new variants of the method of Numerical Zoom and study them mathematically on several model problems. We consider mostly the following simple situation (yet pertinent to some practical application): the Poisson equation in a domain containing a small hole. We employ a coarse global mesh that does not see the hole and correct this defect thanks to an additional fine mesh placed around the hole and conforming with it. An iterative algorithm (multi-model numerical zoom or non intrusive model coupling) is then proposed, solving alternatively the problems on global and local meshes. We introduce a mathematical framework for these methods under very general assumptions on the meshes: the fine mesh may be placed over the coarse one in an arbitrary manner. We perform then a complete theoretical analysis both of the accuracy with respect to a mesh refinement and of the convergence rate of iterations. We also compare this approach with the method of matched asymptotic expansions. Finally, we adapt our method to monotone problems with localized non-linearities, adapting the convergence proof and giving an a priori error estimate.