Automates synchronisant et théorie du codage

Synchronizing automata and coding theory

• Auteur / Autrice : Andrew Ryzhikov
• Direction : Dominique Perrin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 25/11/2020
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (1997-2009) - Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge / LIGM
• Jury : Président / Présidente : Jean-Éric Pin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dominique Perrin, Mikhail Volkov, Antonio Restivo, Marie-Pierre Béal, Laure Daviaud, Mahsa Shirmohammadi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mikhail Volkov, Antonio Restivo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écriture (le mot français)

Automatisation

Codage

Synchronisation

Mots clés libres

Automate synchronisant

Code à longueur variable

Code fini

Conjecture de Černy

Conjecture de Restivo

Mot mortel

Synchronizing automaton

Variable-Length code

Finite code

Černý conjecture

Restivo’s conjecture

Mortal word

Résumé

Cette thèse est consacrée a l’étude des mots synchronisant pour les automates finis et les codes. Intuitivement, un mot synchronisant est tel que son application amène le système dans un état indépendant de l'état initial. Un code ou un automate est synchronisant s’il admet un mot synchronisant. Il existe une forte relation entre l’utilisation de cette notion pour les automates ou les codes et son usage est l’un des leitmotifs de cette thèse.Un des principaux outils pour traiter les codes est l’usage d’un automate particulier préservant ses propriétés de synchronisation. Pour les codes préfixes, ceci est obtenu en utilisant un automate déterministe.Nous avons exploré deux problèmes principaux concernant la synchronisation. Le premier consiste à mesurer la longueur du plus court mot synchronisant pour un automate ou un code. Dans le cas d’un automate fini complet et déterministe, un des problèmes les plus anciens de la théorie combinatoire des automates propose une borne quadratique en termes du nombre d'états de l’automate. Nous étendons cette conjecture aux automates partiels non-déterministes. Nous établissons des bornes polynomiales pour ces classes en présence de la forte connexité, et nous discutons leur lien avec la conjecture originale de Černý.La relation avec les codes finis nous permet de prouver l’existence de bornes similaires en termes de la somme des longueurs des mots du code, et aussi de la longueur du plus long mot. Le deuxième cas est lié à une autre importante conjecture, proposée par Restivo. Elle concerne les mots mortels plutôt que synchronisant. Dans la plupart de ces cas, nous examinons aussi la complexité de calcul d’un mot synchronisant court, un deuxième aspect fondamental de cette thèse. Au-delà, nous étudions plusieurs généralisations de la notion de mot synchronisant, qui permettent d’utiliser une information partielle sur sur l’état dans lequel se trouve l’automate. Pour plusieurs de ces généralisations, nous prouvons des bornes inférieures de complexité, même dans ce cas très particuliers

This thesis is devoted to studying synchronizing words for finite automata and variable-length codes. Intuitively, a synchronizing word is a word such that its application brings a system into some particular state regardless of its initial state. A code or automaton is synchronizing if it admits a synchronizing word. There is a deep connection between the concrete implementations of this notion for finite automata and variable-length codes, and the use of it is one of the leitmotifs of this thesis.One of the main tools for dealing with variable-length codes is assigning a special automaton preserving many synchronization properties to it. For finite codes, this is done using prefix automata.We investigate two fundamental problems about synchronization. The first one is measuring the length of shortest synchronizing words for synchronizing automata and codes. For the case of complete deterministic finite automata, the Černý conjecture, one of the oldest problems in combinatorial automata theory, proposes a quadratic upper bound in terms of the number of states in the automaton. We broaden this conjecture to partial deterministic finite automata and then to unambiguous non-deterministic finite automata. We show polynomial upper bounds for mentioned classes in the presence of strong connectivity, and discuss their connections with the original Černý conjecture.The relation with finite codes allows us to show similar bounds in terms of the sum of the lengths of the codewords, as well as in terms of the length of the longest codeword. The second case is related to another important conjecture stated by Restivo. It deals with mortal words instead of synchronizing ones, the case which we also investigate. For most of these settings we also examine the computational complexity of finding short synchronizing words, which is the second fundamental question investigated in this thesis. Besides that, we study various generalization of the notion of a synchronizing word, which allow to use some partial information about the current state of an automaton. For several such generalizations we show strong computational complexity lower bounds even in very restricted cases