Backward stochastic differential equations driven by Gaussian Volterra processes

par Habiba Knani

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marco Dozzi et de Khalifa El Mabrouk.

Le président du jury était Ivan Nourdin.

Le jury était composé de Marco Dozzi, Khalifa El Mabrouk, Rafik Aguech, Marianne Clausel, Moez Khenissi.

Les rapporteurs étaient Rafik Aguech, Marie-Claire Quenez.

  • Titre traduit

    Équations différentielles stochastiques rétrogrades dirigées par des processus de Volterra Gaussiens


  • Résumé

    Cette thèse porte sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) dirigées par une classe de processus de Volterra qui contient le mouvement brownien multifractionnaire et le processus Ornstein-Uhlenbeck multifractionnaire. Dans la première partie, nous étudions la solution des EDSRs multidimensionnelles avec des générateurs linéaires. Par la formule d’Itô pour les processus de Volterra nous réduisons l’EDSR à une équation aux dérivées partielles (EDP) de second ordre linéaire avec la condition terminale. Sous une condition d’intégrabilité dans un voisinage du temps terminal de la variance du processus de Volterra, nous résolvons l’EDP associée explicitement et en déduisons la solution des EDSR linéaire. Puis, nous discutons une application dans le contexte des stratégies autofinancées. La seconde partie de la thèse traite des EDSRs non linéaires dirigées par la même classe de processus de Volterra. Les résultats principaux sont l’existence et l’unicité de la solution de l’EDSR dans un espace de fonctionnelles régulières du processus de Volterra et un théorème de comparaison qui porte sur les générateurs et les conditions terminales. Nous donnons deux preuves de l’existence et de l’unicité de la solution de l’EDSR, l’une basée sur l’EDP associée et l’autre sans référence à l’EDP, mais avec des méthodes probabilistes. Cette seconde preuve est techniquement difficile et, en raison de l’absence de propriétés de martingale dans le contexte des processus de Volterra, la preuve nécessite différentes normes sur l’espace de Hilbert sous-jacent défini par le noyau du processus de Volterra. Pour la construction de la solution, nous avons besoin de la notion de l’espérance quasi-conditionnelle, d’une formule de type Clark-Ocone et d’une autre formule d’Itô pour les processus de Volterra. Contrairement au cas classique des EDSR dirigées par le mouvement brownien ou brownien fractionnaire, une hypothèse sur le comportement du noyau est nécessaire pour l’existence et l’unicité de la solution de l’EDSR. Pour le mouvement brownien multifractionnaire, cette hypothèse est liée à la fonction de Hurst.


  • Résumé

    This thesis treats of backward stochastic differential equations (BSDE) driven by a class of Gaussian Volterra processes that includes multifractional Brownian motion and multifractional Ornstein-Uhlenbeck processes. In the first part we study multidimensional BSDE with generators that are linear functions of the solution. By means of an Itoˆ formula for Volterra processes, a linear second order partial differential equation (PDE) with terminal condition is associated to the BSDE. Under an integrability condition on a functional of the second moment of the Volterra process in a neighbourhood of the terminal time, we solve the associated PDE explicitely and deduce the solution of the linear BSDE. We discuss an application in the context of self-financing trading stategies. The second part of the thesis treats of non-linear BSDE driven by the same class of Gaussian Volterra processes. The main results are the existence and uniqueness of the solution in a space of regular functionals of the Volterra process, and a comparison theorem for the solutions of BSDE. We give two proofs for the existence and uniqueness of the solution, one is based on the associated PDE and a second one without making reference to this PDE, but with probabilistic and functional theoretic methods. Especially this second proof is technically quite complex, and, due to the absence of mar- tingale properties in the context of Volterra processes, requires to work with different norms on the underlying Hilbert space that is defined by the kernel of the Volterra process. For the construction of the solution we need the notion of quasi-conditional expectation, a Clark-Ocone type formula and another Itoˆ formula for Volterra processes. Contrary to the more classical cases of BSDE driven by Brownian or fractional Brownian motion, an assumption on the behaviour of the kernel of the driv- ing Volterra process is in general necessary for the wellposedness of the BSDE. For multifractional Brownian motion this assumption is closely related to the behaviour of the Hurst function.


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