Limites d'échelles pour des modèles cinétiques stochastiques

Scaling limits for stochastic kinetic models

• Auteur / Autrice : Angelo Rosello
• Direction : Arnaud Debussche, Julien Vovelle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/07/2020
• Etablissement(s) : Rennes, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....) - École normale supérieure - Rennes - Université de Rennes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ismaël Bailleul, Marjolaine Puel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Bolley, Antoine Mellet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Mots clés libres

Limites d'échelles

Equations cinétiques

Edps

Limite de champ moyen

Systèmes de particules stochastiques

Scaling limits

Kinetic equations

SPDEs

Mean-Field limits

Stochastic particle systems

Résumé

Cette thèse se propose d’étudier quelques transitions d’échelles pour des modèles cinétiques bruités où l’objet limite est encore de nature aléatoire, régi par une équation aux dérivées partielles stochastique. Dans le premier chapitre, on s’intéresse au passage d’une description mésoscopique à une description macroscopique en considérant un système d’équations – modélisant le comportement d’un « spray » dans un fluide ambiant – perturbé par un processus de Markov mélangeant. Après un changement d’échelle approprié, en s’appuyant sur la méthode de la fonction test perturbée, on montre la convergence de la densité de particules vers une limite hydrodynamique qui s’exprime comme une équation de conservation stochastique dirigée par un processus de Wiener.Dans un second temps, on étudie des équations cinétiques stochastiques correspondant à des modèles biologiques de mouvement collectif. Cette étude se divise en deux travaux consacrés à deux modèles distincts. Dans le chapitre 2, on s’intéresse à la limite de champ moyen du système de particules stochastique associé à des perturbations aléatoires du modèle classique de Cucker-Smale. Dans le chapitre 3, on étudie un modèle plus fin, rendant compte d’une interaction locale entre les individus, pour lequel on établit l’existence de solutions martingales.

This thesis aims at providing an understanding of certain scaling limits for kinetic models perturbed with some random noise, where the limiting object remains of stochastic nature, governed by a stochastic partial differential equation. In the first chapter, the transition from a mesoscopic to a macroscopic description is studied through a kinetic system of equations – corresponding to the behavior of a “spray” of particles embedded in an ambient fluid perturbed by a mixing Markov process. Under a suitable scaling, relying on the perturbed test function method, we establish the convergence of the density of particles to a hydrodynamic limit which can be expressed as the solution of a stochastic conservation equation driven by a Wiener process.Next, we focus on stochastic kinetic equations derived from biological models of collective motion. This study is split into two different works, devoted to distinct models. In chapter 2, we first examine the mean-field limits of a few different particle systems which correspond to random perturbations of the classical Cucker-Smale model. Then, in chapter 3, we establish the existence of martingale solutions for some more advanced model, which allows local interactions between individuals.