Tenseurs aléatoires et modèle de Sachdev-Ye-Kitaev

par Romain Pascalie

Thèse de doctorat en Mathématiques Pures

Sous la direction de Adrian Tanasa et de Raimar Wulkenhaar.

Soutenue le 10-09-2020

à Bordeaux en cotutelle avec Westfälische Wilhelms-Universität , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique , en partenariat avec Laboratoire bordelais de recherche en informatique (laboratoire) .

Le président du jury était Frédéric Patras.

Le jury était composé de Adrian Tanasa, Raimar Wulkenhaar, Frank Ferrari, Răzvan-Gheorghe Gurău, Chiranjib Mukherjee, Astrid Eichhorn, Camille Male.

Les rapporteurs étaient Frank Ferrari, Răzvan-Gheorghe Gurău, Chiranjib Mukherjee.


  • Résumé

    Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.

  • Titre traduit

    Random tensors and the Sachdev-Ye-Kitaev model


  • Résumé

    This thesis treats different aspects of random tensors. In the first part of the thesis, we study the formulation of random tensors as a quantum field theory called tensor field theory (TFT). In particular we derive the Schwinger-Dyson equations for a tensor field theory with an U(N)-invariant melonic quartic interactions, at any tensor rank. The correlation functions are classified by boundary graphs and we use the Ward-Takahashi identity to derive the complete tower of exact, analytic Schwinger-Dyson equations for correlation functions with connected boundary graph.We then analyse the large N limit of the Schwinger-Dyson equations for rank 3 tensors. We find the appropriate scalings in powers of N for the various terms present in the action. This enable us to solve the closed Schwinger-Dyson equation for the 2-point function of a TFT with only one quartic melonic interaction, in terms of Lambert's W-function, using a perturbative expansion and Lagrange-Bürmann resummation. Higher-point functions are then obtained recursively.In the second part of the thesis, we study the Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model which is closely related to tensor models. The SYK model is a quantum mechanical model of N fermions who interact q at a time and whose coupling constant is a tensor average over a Gaussian distribution. We study the effect of non-Gaussian average over the random couplings in a complex version of the SYK model. Using a Polchinski-like equation and random tensor Gaussian universality, we show that the effect of this non-Gaussian averaging leads to a modification of the variance of the Gaussian distribution of couplings at leading order in N. We then derive the form of the effective action to all orders and perform an explicit computation of the modification of the variance in the case of a quartic perturbation.In the third part of the thesis, we analyse an application of random tensors to non-linear resonant system. Focusing on a typical model similar to the SYK model but with bosons instead of fermions, we perform a Gaussian averaging both for the tensor coupling between modes and for the initial conditions. In the limit when the initial configuration has many modes excited, we compute the variance of the Sobolev norms to characterise how representative the averaged model is of this class of resonant systems.


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