Combinatoire catégorielle pour les stratégies innocentes non-déterministes

Categorical combinatorics for non-déterministic innocent strategies

• Auteur / Autrice : Clément Jacq
• Direction : Paul-André Melliès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Logique et fondements de l'informatique
• Date : Soutenance le 03/12/2019
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Thomas Ehrhard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul-André Melliès, Thomas Ehrhard, Tom Hirschowitz, J. M. E. Hyland, Claudia Faggian, Daniela Petrisan, Samuel Mimram, Pierre Clairambault
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tom Hirschowitz, J. M. E. Hyland

Mots clés

Mots clés contrôlés

Langages de programmation

Logique mathématique

Sémantique selon la théorie des jeux

Mots clés libres

Modèles bicategoriels de la logique linéaire

Stratégies innocentes

Bicategorical models of linear logic

Innocent Strategies

Résumé

Il y a vingt-cinq ans, Hyland et Ong ont résolu le problème de l’abstaction pour le langage PCF en construisant une sémantique des jeux basées sur la notion fondamentale de stratégie innocente. Dans cette thèse, nous continuons leurs travaux et construisons une bicatégorie de stratégies innocentes et non-déterministes étendant leur modèle original de jeux déterministiques et innocents.Notre point de départ est fourni par l’approche combinatoire des stratégies innocentes développée par Harmer, Hyland et Melliès dans un article publié il y a douze ans. Dans ces travaux, ils élaborent une description combinatoire de la structure de pointeur des jeux d’arènes, et prouvent que l’innocence peut être obtenue en se servant d’un nombre de propriétés catégorielles remarquables, plus particulièrement l’existence d’une loi distributive entre la monade générant les Vues Joueurs et la comonade générant les Vues Opposants.Dans cette thèse, nous étudions en détail la reconstruction du modèle de jeux innocents décrit par Harmer, Hyland et Melliès, et étendons ce modèle dans deux directions. Dans la première direction, nous expliquons comment voir le modèle de Harmer, Hyland et Melliès en tant qu’instance d’une catégorie de dialogue, une notion initiallement introduite par Melliès, en se servant de la symétrie entre Joueur et Opposant dans les catégories de jeux et stratégies. Dans la seconde direction, nous construisons une sémantique des jeux bicatégorielle de PCF non-déterministe en équipant chaque jeu d’un pré-faisceau des stratégies non-déterministes, au lieu d’un ensemble de stratégies. Pour opérer ce changement de dimension d’ensemble à pré-faisceau, nous adaptons les constructions catégorielles du modèle Harmer-Hyland-Melliès, et construisons une loi pseudo-distributive entre la pseudo-monade générant les Vues Joueurs et la pseudo-comonade générant les Vues Opposants dans notre modèle non-déterministe. Nous obtenons ainsi une bicatégorie de jeux, stratégies non-déterministes et simulations, que nous comparons avec des formules alternatives de sémantiques des jeux non-déterministes et innocentes apparaissant dans la littérature

Twenty-five years ago, Hyland and Ong resolved the full abstraction problem for the PCF language by constructing a game semantics based on the fundamental notion of innocent strategy. We carry on their work in this thesis, and construct a 2-dimensional category of non-deterministic and innocent strategies extending their original deterministic innocent game model.Our starting point in the thesis is provided by the combinatorial approach to innocent strategies developed by Harmer, Hyland and Melliès in a work published ten years ago. In this work, they elaborate a combinatorial description of the pointer structures of arena games, and establish that innocence can be recovered by taking advantage of a number of remarkable categorical properties, most notably the existence of a distributive law between the monad generating the Player views and the comonad generating the Opponent views.In this thesis, we study in great detail the reconstruction of the innocent game model identified by Harmer, Hyland and Melliès, and extend this model in two directions. In the first direction, we explain how to see the Harmer-Hyland-Melliès game model as a specific instance of a dialogue category, a notion originally introduced by Melliès, using the underlying symmetry between Opponent and Player in categories of games and strategies.In the second direction, we construct a 2-dimensional game semantics of non-deterministic PCF by equipping every game with a presheaf of non-deterministic strategies, instead of just a set of strategies. In order to perform this shift of dimension from sets to presheaves, we adapt very carefully the categorical constructions involved in the Harmer-Hyland-Melliès model, and construct in particular a pseudo-distributive law between the pseudo-monad generating the Player views and the pseudo-comonad generating the Opponent views in our non-determinic game model. We obtain in this way a bicategory of games, non-deterministic innocent strategies and simulations --- which we then compare with alternative formulations of non-deterministic and innocent game semantics appearing in the literature.