Mouvement brownien branchant et autres modèles hiérarchiques en physique statistique

Branching Brownian motion and other hierarchical models in statistical physics

• Auteur / Autrice : Michel Pain
• Direction : Zhan Shi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/06/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Bernard Derrida
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Elie Aïdekon, Julien Berestycki, Brigitte Chauvin, Yueyun Hu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ofer Zeitouni, Jean Bertoin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transitions de phases

Processus stochastiques

Martingales (mathématiques)

Mouvement brownien

Mots clés libres

Mouvement brownien branchant

Transition de phase

Martingale dérivée

Fluctuations 1-stable

Sélection

Chaos en température

Verres de spin

Modèle de Derrida-Retaux

Branching Brownian motion

Branching random walk

Derivative martingale

1-stable Lévy process

Scaling limits

Temperature chaos

Spin glasses

Derrida-Retaux model

Résumé

Le mouvement brownien branchant (BBM) est un système de particules se déplaçant et se reproduisant aléatoirement. En premier lieu, nous étudions avec précision la transition de phase qui a lieu au sein de ce système de particules près de son minimum, en se plaçant dans le cas dit presque-critique. Ensuite, nous décrivons les fluctuations 1-stable universelles qui apparaissent dans le front du BBM, ainsi que le comportement typique des particules qui y contribuent. Une version du BBM avec sélection est également étudiée, où les particules sont tuées quand elles descendent à une distance L de la particule la plus haute : nous verrons comment cette règle de sélection affecte la vitesse de déplacement des individus les plus rapides quand L est grand. Puis, sous l'angle de la question du chaos en température pour les verres de spin, nous comparons le champ libre gaussien discret en dimension 2, un modèle possèdant une structure hiérarchique approximative et des propriétés très proches de celles du BBM, avec le Random Energy Model. Finalement, le dernier chapitre porte sur le modèle de Derrida-Retaux, qui est également défini par une structure hiérarchique. Nous introduisons une version continue de ce modèle, possédant une famille exactement soluble de solutions qui permet de répondre à différentes conjectures existantes sur le modèle discret.

Branching Brownian motion (BBM) is a particle system, where particles move and reproduce randomly. Firstly, we study precisely the phase transition occuring for this particle system close to its minimum, in the setting of the so-called near-critical case. Then, we describe the universal 1-stable fluctuations appearing in the front of BBM and identify the typical behavior of particles contributing to them. A version of BBM with selection, where particles are killed when going down at a distance larger than L from the highest particle, is also sudied: we see how this selection rule affects the speed of the fastest individuals in the population, when L is large. Thereafter, motivated by temperature chaos in spin glasses, we study the 2-dimensional discrete Gaussian free field, which is a model with an approximative hierarchical structure and properties similar to BBM, and show that, from this perspective, it behaves differently than the Random Energy Model. Finally, the last part of this thesis is dedicated to the Derrida-Retaux model, which is also defined by a hierarchical structure. We introduce a continuous time version of this model and exhibit a family of exactly solvable solutions, which allows us to answer several conjectures stated on the discrete time model.