Inférence statistique pour un système en interaction partiellement observé de processus de Hawkes

Statistical inference for a partially observed interacting system of Hawkes processes

• Auteur / Autrice : Chenguang Liu
• Direction : Nicolas Fournier, Sylvain Delattre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/12/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Marc Hoffmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ismaël Castillo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuelle Clément, Vincent Rivoirard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique mathématique

Processus ponctuels

Théorème de la limite centrale

Systèmes stochastiques

Mots clés libres

Processus Hawkes multivarié

Processus ponctuels

Inférence statistique

Graphe d'interaction

Particules à interaction stochastique

Limite de champ moyenne

Multivariate Hawkes processes

Central limit theorem

Statistical inference

Interaction graph

Stochastic interacting particles

Mean field limit

Résumé

Nous observons les actions d'un sous-échantillon de K de N d’individus, pendant un intervalle de temps de longueur t>0, pour certaines grandes K≤N. Nous modélisons les relations des individus par i.i.d. Bernoulli (p) variables aléatoires, où p∈(0,1] est un paramètre inconnu. Le taux d’action de chaque individu dépend d’un paramètre inconnu μ>0 et sur la somme de quelque fonction ϕ des âges des actions des individus qui l'influencent. La fonction ϕ est inconnue mais nous supposons qu'elle se désintègre rapidement. Le but de cette thèse est d'estimer le paramètre p, qui est la principale caractéristique du graphe d’interaction, dans l'asymptotique où taille de la population N→∞, la taille de la population observée K→∞, et dans un temps long t→∞. Soit mt le nombre moyen d'actions par individu jusqu'au temps t, qui dépend de tous les paramètres du modèle. Dans le cas sous-critique, où mt augmente linéairement, nous construisons un estimateur de p avec le taux de convergence 1K√+NmtK√+NKmt√. Dans le cas supercritique, où mt augmente rapidement de façon exponentielle, nous construisons un estimateur de p avec le taux de convergence 1K√+NmtK√. Dans un second temps, nous étudions la normalité asymptotique de ces estimateurs. Dans le cas sous-critique, le travail est très technique mais assez général, et nous sommes amenés à étudier trois régimes possibles, en fonction du terme dominant dans 1K√+NmtK√+NKmt√ à 0. Dans le cas supercritique, nous supposons malheureusement quelques conditions supplémentaires et considérons seulement l'un des deux régimes possibles.

We observe the actions of a K sub-sample of N individuals, during some time interval with length t>0, for some large K≤N. We model the relationships of individuals by i.i.d. Bernoulli(p) random variables, where p∈(0,1] is an unknown parameter. The rate of action of each individual depends on some unknown parameter μ>0 and on the sum of some function ϕ of the ages of the actions of the individuals which influence him. The function ϕ is unknown but we assume it rapidly decays. The aim of this thesis is to estimate the parameter p, which is the main characteristic of the interaction graph, in the asymptotic where the population size N→∞, the observed population size K→∞, and in large time t→∞. Let mt be the average number of actions per individual up to time t, which depends on all the parameters of the model. In the subcritical case, where mt increases linearly, we build an estimator of p with the rate of convergence \frac{1}{\sqrt{K}}+\frac{N} m_t\sqrt{K}}+\frac{N}{K\sqrt{m_t}}. In the supercritical case, where mt increases exponentially fast, we build an estimator of p with the rate of convergence 1K√+NmtK√. In a second time, we study the asymptotic normality of those estimators. In the subcritical case, the work is very technical but rather general, and we are led to study three possible regimes, depending on the dominating term in 1K√+NmtK√+NKmt√→0. In the supercritical case, we, unfortunately, suppose some additional conditions and consider only one of the two possible regimes.