Random graphs in evolution

par François Bienvenu

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Amaury Lambert.

Le président du jury était Nicolas Broutin.

Le jury était composé de Viet Chí Tran, Celine Scornavacca.

Les rapporteurs étaient Régine Marchand, Simon Harris.

  • Titre traduit

    Graphes aléatoires en évolution


  • Résumé

    Cette thèse est composée de cinq projets de recherche indépendants, tous en lien soit avec les graphes aléatoires, soit avec la biologie évolutive - mais pour la plupart à l'interface de ces deux disciplines. Dans les Chapitres 2 et 3, nous introduisons deux modèles de graphes aléatoires correspondant à la distribution stationnaire d'une chaîne de Markov. Le premier de ces modèles, que nous appelons le graphe "split-and-drift", décrit la structure et la dynamique des réseaux d'interfécondité; le second est une forêt aléatoire inspirée du modèle de Moran, modèle central de la génétique des populations. Le Chapitre 4 est consacré à l'étude d'une nouvelle classe de réseaux phylogénétiques basée sur les "tree-child networks", que nous appelons "ranked tree-child networks" (RTCNs). Nous expliquons comment les énumérer et les échantillonner, puis étudions la structure des grands RTCNs uniformes. Dans le Chapitre 5, nous prouvons un résultat général à propos de la percolation dans les graphes orientés aléatoirement : l'association positive du cluster de percolation orientée. Enfin, le Chapitre 6 traite d'une des statistiques les plus utilisées en biologie des population : l'âge moyen auquel les parents donnent naissance. Nous détaillons plusieurs problèmes liés à l'une des méthodes les plus utilisées pour le quantifier et proposons une méthode alternative.


  • Résumé

    This thesis consists of five independent research projects, related either to random graphs or to evolutionary biology - and most often to both. Chapters 2 and 3 introduce two random graphs that are obtained as the stationary distributions of graph-valued Markov chains. The first of these, which we term the split-and-drift random graph, aims to describe the structure and dynamics of interbreeding-potential networks; the second one is a random forest that was inspired by the celebrated Moran model of population genetics. Chapter 4 is devoted to the study of a new class of phylogenetic networks that we term ranked tree-child networks, or RTCNs for short. These networks correspond to a subclass of tree-child networks that are endowed with an additional structure ensuring compatibility with a time-embedded evolutionary process, and are designed to model reticulated phylogenies. We focus on the enumeration and sampling of RTCNs before turning to the structural properties of large uniform RTCNs. In Chapter 5, we prove a general result about oriented percolation in randomly oriented graphs: the positive association of the percolation cluster. Finally, in Chapter 6 we focus on a widely used statistic of populations: the mean age at which parents give birth. We point out several problems with one of the most widely used way to compute it, and provide an alternative measure.


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