Wave functions and scalar products in the Bethe ansatz

par Benoît Vallet

Thèse de doctorat en Physique

Sous la direction de Didina Serban.

Soutenue le 10-10-2019

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....) , en partenariat avec Institut de Physique Théorique (Saclay, Essonne) (laboratoire) et de Université Paris-Sud (1970-2019) (établissement opérateur d'inscription) .

  • Titre traduit

    Fonctions d’onde et produits scalaires dans l’ansatz de Bethe


  • Résumé

    Les modèles intégrables sont des modèles physiques pour lesquels certaines quantités peuvent être calculées de manière exacte, sans recours aux méthodes de perturbations. Ces modèles très particuliers suscitent un intérêt croissant en physique théorique. Les applications directes en physique de la matière condensée et les liens subtils plus récemment mis en évidence avec certaines théories de jauge supersymétriques ont motivé depuis des décennies l’élaboration d’outils mathématiques complexes. Parmi eux, l’ansatz de Bethe a joué un rôle central, et permis la diagonalisation de nombreux modèles de natures très différentes. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à une introduction aux deux approches de l’ansatz de Bethe, dites ”en coordonnée” et ”algébrique”, dans le cadre de la chaîne de spin de Heisenberg et d’un modèle stochastique généralisant à un spin continu le modèle du Totally Asymmetric Simple Exclusion Process. Le deuxième chapitre de cette thèse présente l’ansatz algébrique modifié pour la chaîne XXX périodique. Cet ansatz modifié est proposé pour résoudre le cas de la chaîne ouverte, pour laquelle l’ansatz classique n’est plus efficace. Le produit scalaire des états de Bethe modifiés ainsi obtenus est étudié. Le troisième chapitre concerne la résolution de l’identité, et le problème fonctionnel inverse. Une expression pour les états de spin en terme des états de Bethe est présentée pour le q-TASEP, et une expression de la résolution de l’identité en terme des états de Bethe pour la chaîne de spin XXZ infinie est démontrée, faisant intervenir dans les deux cas la contribution des états liés. Enfin, le quatrième chapitre concerne les représentions en déterminant dans l’ansatz de Bethe. Une expression pour les éléments de matrice de l’opérateur Nombre de Particule pour le gaz de Bose avec interaction delta en terme d’un déterminent est démontrée, et des représentations intégrales pour les déterminants d’Izergin-Korepin et de Slavnov sont investiguées, établissant ainsi un nouveau lien formel direct entre ces deux représentations en déterminant.


  • Résumé

    Integrable models are physical models for which some quantities can be exactly obtained, without use of perturbation theory. Those very special models are source of an increasing interest in theoretical physics. The direct applications in condensed matter physics and the subtle links evidenced more recently with some supersymmetric gauges theories motivated the development of complex mathematical tools. Among these, Bethe ansatz played an important role, and provides an efficient approach for diagonalizing a lot of models of various nature. The first chapter of this thesis is devoted to the introduction to the two approaches of the Bethe ansatz, said “coordinate” and “algebraic”, in the context of the XXX Heisenberg spin chain and a continuous spin generalization of the Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, the so called Zero-range Chipping model with factorized steady state (ZCM). The second chapter is devoted to the Modified Algebraic Bethe Ansatz in the context of the periodic XXX chain. This modified ansatz is proposed for solving the spectral problem of the open spin chain, for which the usual ansatz fails. The scalar product of the obtained modified Bethe states is studied. The third chapter concerns the resolution of the identity and the inverse functional problem. An expression for the spin states in terms of Bethe states est presented for the ZCM, and an expression for the resolution of the identity in term of Bethe states for the infinite XXZ chain is proved, involving in both cases the contribution of bound states. At last, the fourth chapter concerns determinant representations in the Bethe ansatz. An expression for the “matrix elements of the particle number operator” for the delta-Bose gas in terms of a determinant is proved, and some integral representations for the Izergin-Korepin and Slavnov determinants are investigated, then establishing a new formal link between these two determinant representations.


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