Periodic control of multi-specific bioreactors in order to optimize their performances

par Fatima Tani

Thèse de doctorat en Mathématiques et Modélisation

Sous la direction de Alain Rapaport et de Térence Bayen.

Le président du jury était Jean-Luc Gouzé.

Le jury était composé de Alain Rapaport, Térence Bayen, Jean-Luc Gouzé, Hasnaa Zidani, Olivier Cots, Laetitia Giraldi.

Les rapporteurs étaient Hasnaa Zidani.

  • Titre traduit

    Commande périodique de bioréacteurs multi-spécifiques en vue de l'optimisation de leurs rendements


  • Résumé

    Les contributions de ce travail sont présentées en deux parties. Nous considérons d’abord un problème de contrôle optimal périodique régi par un système dynamique scalaire, linéaire par rapport à la variable de contrôle satisfaisant une contrainte intégrale. Nous présentons des conditions suffisantes permettant de déduire l’existence d’un sur-rendement qui consiste à améliorer le critère à l’équilibre associé un contrôle constant ū en considérant un contrôle périodique u avec une valeur moyenne égale à ū. Nous utilisons le Principe de Maximum de Pontryagin pour conclure la synthèse optimale périodique satisfaisant la contrainte intégrale. Nous montrons le rôle important des hypothèses de la convexité et de la monotonie des données. Ces résultats sont appliqués au modèle du chémostat où l’objectif est d’améliorer la qualité de l’eau en considérant un débit périodique sous contrainte intégrale sur la quantité totale d’eau à traiter. Nous démontrons également une propriété de dualité permettant de considérer un deuxième problème dit dual, où l’on cherche un débit périodique qui maximise la quantité d’eau à traiter sur une période et pour laquelle, la valeur moyenne en substrat doit respecter un seuil. En se basant sur ces résultats, nous avons proposé un algorithme robuste permettant de distinguer entre deux types de cinétiques et qui combine entre des opérations stationnaires et périodiques. Dans un autre contexte, nous montrons comment garantir la résilience dans le modèle de chemostat en présence d’une espèce envahissante, dans un sens faible que nous définissons. Nous construisons une fonction débit qui varie au cours du temps et qui permet à l’espèce native de revenir au-dessus d’un seuil fixé, un nombre infini de fois, sans éradiquer l’espèce envahissante. Avec cette fonction, nous montrons que le temps passé par l’espèce native au-dessus du seuil est infini, on dit alors qu’elle est "faiblement résiliente". Nous prouvons ainsi qu’il existe une solution périodique unique du système associée à cette fonction faiblement résiliente et on conjecture que toute autre solution converge asymptotiquement vers cette solution périodique. Enfin, nous montrons que cela peut être réalisé avec un contrôle hybride qui ne nécessite pas une connaissance parfaite des caractéristiques de croissance des espèces.


  • Résumé

    The contributions of the thesis are in two parts. We first consider a periodic optimal control problem governed by a one-dimensional system, linear with respect to the control variable and satisfying an integral constraint. We give sufficient conditions for over-yielding that consists inimproving the criterion at steady state with a constant control ū by considering a periodic control u with average value equal to ū. We use Pontryagin’s Maximum Principle to provide the optimal synthesis of periodic strategies satisfying the integral constraint. Convexity and monotonicity assumptions are playing a crucial role. Theses results are applied to the chemostat model where the goal is to improve the averaged water quality using periodic removal rate under integral constraint on the total amount of water to be treated. We prove also a duality property allowing to consider a dual problem, which consists in improving the total quantity of treated water over a given time period, compared to steady-state, by considering periodic operation under integral constraint on the water quality. Based on these results, we proposed a robust algorithm that distinguishes between two types of kinetics and combines stationary and periodic operations.In another context, we show how resilience in the chemostat model in presence of a species invader can be guaranteed in a weak sense. We give aconstruction of a time varying removal rate allowing the resident speciesto come back above a fixed threshold, an infinite number of times, eventhough the invader can never be totally eradicated. With this control, weshow that the time spent by the resident species above the threshold is ofinfinite measure, and thus the control is said to be "weakly resilient". Weshow that there exists an unique periodic solution of the system associatedwith such a time-varying removal rate and conjecture that any other trajectory converges asymptotically to this periodic solution. Finally, we show that this can be achieved by a hybrid feedback controller based on very few knowledge on the growth characteristics of the species.


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