Auteur / Autrice : | Gwladys Fernandes |
Direction : | Boris Adamczewski |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 18/06/2019 |
Etablissement(s) : | Lyon |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon |
Partenaire(s) de recherche : | établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....) |
Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Valérie Berthé |
Examinateurs / Examinatrices : Boris Adamczewski, Charlotte Hardouin, Federico Pellarin, Julien Roques | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Patrice Philippon, Lucia Di Vizio |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Cette thèse se situe dans le domaine de la théorie des nombres. Elle traite de la transcendance et de l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions mahlériennes définies sur des corps de fonctions de caractéristique p>0. La problématique de cette thèse est l'établissement de l'équivalence entre l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions mahlériennes aux points algébriques et celle des fonctions elles-mêmes. L'une de nos motivations est l'observation fructueuse de L. Denis selon laquelle il est possible en caractéristique non nulle de déformer des nombres remarquables (périodes de modules de Drinfeld) comme valeurs de fonctions mahlériennes. Nous démontrons notamment que toute relation algébrique homogène entre valeurs, en un point algébrique non nul régulier, de solutions d'un système mahlérien engendrant une extension régulière, provient de la spécialisation d'une relation algébrique homogène entre les fonctions elles-mêmes. Il s'agit de l'analogue de travaux de P. Philippon et de B. Adamczewski et C. Faverjon et d'un raffinement d'un théorème fondamental de Ku. Nishioka, dans le cas où K est un corps de nombres. Ainsi, l'étude de l'indépendance algébrique des valeurs de fonctions mahlériennes se ramène à celle des fonctions elles-mêmes. Cependant, contrairement à la caractéristique nulle, une fonction mahlérienne algébrique n'est pas nécessairement rationnelle et la transcendance de fonctions mahlériennes dans ce contexte demeure encore mystérieuse. Néanmoins, nous établissons que cette dichotomie reste valide pour les fonctions d-mahlériennes, où p ne divise pas d. Par ailleurs, nous démontrons un théorème de type Kolchin qui fournit une condition suffisante à l'indépendance algébrique de fonctions mahlériennes d'ordre 1 inhomogène ainsi qu'une caractérisation de la transcendance de telles fonctions. Enfin, au-delà de ces résultats qualitatifs, nous nous intéressons aux mesures d’indépendance algébrique entre valeurs de fonctions mahlériennes en caractéristique non nulle et proposons une approche, inspirée de travaux récents de E. Zorin en caractéristique nulle, qui permettrait d’obtenir de tels résultats quantitatifs