Analysis on singular space and operators algebras

par Jérémy Mougel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Victor Nistor.

Le président du jury était Hervé Oyono-Oyono.

Le jury était composé de Victor Nistor, Radu Purice, Serge Richard, Angela Pasquale, Paulo Roberto Carrillo-Rouse, Lisette Jager.

Les rapporteurs étaient Radu Purice, Serge Richard.

  • Titre traduit

    Analyse sur les espaces singuliers et algèbres d’opérateurs


  • Résumé

    Nous étudions l'opérateur H=-Δ +V qui représente l'énergie d'un système à N-électrons. Pour cela, nous utilisons les algèbres d'opérateurs. Nous commençons par définir une C*-algèbres A qui contient le potentiel V du problème puis nous prenons son produit croisé AxX . Les résolvantes de H sont ainsi contenues dans cette C*algèbre dans AxX. Par une étude précise du spectre de AxX, nous obtenons une décomposition spectrale essentiel de H et donc un résultat qui étend le théorème HV Z dans la continuité des travaux de V. Georgescu. Nous étendons ce résultat en remplaçant l'espace euclidien X par le groupe de Heisenberg. Dans la seconde partie de la thèse, nous montrons que le spectre de la C*-algèbre A et un espace introduit par A. Vasy dans les années 2000 sont les mêmes. L'espace construit par A. Vasy est construit par éclatements successifs d'une variété différentielle à coins. La preuve repose également sur des résultats d'éclatements de variétés. En particulier, nous avons introduit la notion de « graph blow-up »' d'une variété par rapport à une famille assez générale de sous-variétés.


  • Résumé

    We study the operator H=-Δ +V that describes the energy of a system with N electrons. To do this, we use operator algebras. We thus first define a C*algebra A that contains the potentials V of the problem and then consider the crossed product AxX. The resolvents of H then belong to the C*algebra AxX. By a precise study of the spectrum of AxX, we obtain a decomposition of the essential spectrum of H, and hence of result that extends the HVZ theorem, in the spirit of Georgescu. We extend these results by replacing the underlying Euclidean space X with the Heisenberg group. In the second part of the thesis, we show that the spectrum of A and the space introduce by A. Vasy around the year 2000 are the same. The space introduced by A. Vasy is defined using the blow-up of differentials manifolds with corners. The proofs are based on some differential geometric results on blow-ups of manifolds, in particular, we introduce the notion of ``graph blow-up'' of a manifold with respect to a rather general family of submanifolds.


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